第三讲 向量应用-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第三讲 向量应用 1、 知识梳理 要点一、平面几何中的向量方法 1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义 (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件//()(或). (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：⊥ ·=0(或=0)。 (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ=。 (5)对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题. 2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 【练一练】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：． 要点二、向量在物理中的应用 1.向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上. 2.向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标运算. 3.向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积， ·s=||||cosθ(θ为和的夹角).动量m实际上是数乘向量。 【练一练】如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F． （1）如果，求F的大小； （2）试研究：当时，随着的增大，F的变化趋势． 二、典型例题 用平面向量解决平面几何问题的方法 利用向量的数量积及运算律解决几何问题一般分为三步：一是用向量表示几何关系；二是进行向量运算；三是还原为几何结论。 【例1】已知，，，点D是BC上一点，且的面积是△ABC面积的． （1）求△ABC的重心G的坐标； （2）求点D的坐标． 【例2】如图，在△OAB中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 三、课堂训练 一、单选题 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）． A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 2．物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ） A．3N B． C．2N D． 3．在△ABC中，若，则的形状一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ） A． B． C． D． 5．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风速相同，此时风速大小为，此人实际感到的风速为（ ） A． B． C． D． 6．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A．10 m/s B． m/s C．m/s D．12 m/s 7．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为（ ） A． B． C． D． 9．已知为△ABC的重心，且，则___________. 10．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是 _____ km/h. 11．如图所示，一力作用在小车上，其中力的大小为，方向与水平面成角，当小车向前运动时，力做的功为__________. 12．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________. 13．若向量与的夹角为钝角或平角，则的取值范围是_____． 14．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h. 15．设是△