第九讲 复数-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第九讲 复数 一、知识梳理 1.复数的概念 形如z=a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a称为实部，b称为虚部.当b≠0时，z为虚数，当a=0且b≠0时，z为纯虚数. 2.两个复数相等的充要条件 a+bi=c+di(a，b，c，d∈R)a=c且b=d. 3.复数的四则运算 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R). (1)复数的加减法：z1±z2=(a±c)+(b±d)i. (2)复数的乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. (3)复数的除法：若，则. 4.复数模的几何意义 (1)z=a+bi点Z(a，b)； (2). 二、典型例题 例1 (1)若复数z满足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虚数单位),则z的实部为( ) A．6 B．1 C．－1 D．－6 (2)如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,则b＝________． (3)设(1＋i)x＝i(2－yi),i为虚数单位,x,y∈R,则复数z＝x＋yi的模|z|等于________． 变式1 已知复数z满足z(3＋4i)＝3－4i,z为z的共轭复数,则＝________． 变式2 已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1＋i)(1－bi)＝a,则的值等于________． 例2 (1)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1＝2＋i,则z1z2等于( ) A．－5 B．5 C．－4＋1 D．－4－i (2)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i),其中i是虚数单位,则z的模是________． (3)若复数z满足2z＋z＝3－2i,其中i为虚数单位,则z等于( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 变式1 已知＝1＋i(i为虚数单位),则复数z等于( ) A．1＋i 　　B．1－i　　C．－1＋i 　　D．－1－i 变式2 已知a∈R,i是虚数单位,若z＝a＋i,z·z＝4,则a等于( ) A．1或－1 B．或－ C． 或－ D．或－ 例3 (1)已知复数z＝(其中i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知z是复数,z＋2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围． 变式1 已知复数z＝m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是( ) A．　　　　　B． C． D． 变式2 已知复数z1＝－1＋2i,z2＝1－i,z3＝3－2i,它们所对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若＝x＋y,则x＋y的值是____． 三、课堂训练 1.设复数z满足z﹣||＝i﹣2，则z的虚部为（　　） A．﹣ B．﹣﹣i C．i D．1 2.已知z＝，则在复平面内z对应的点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 3.已知复数z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 4.若复数z满足z（2﹣i）＝（1+4i）（i是虚数单位），则复数在复平面中对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（　　） A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i 6.复数z1，z2在复平面内所对应的点关于实轴对称，且z1（1﹣i）＝|1+i|，则z1•z2＝（　　） A．2 B．1 C． D．1+i 7.已知z（1﹣2i）＝i，则下列说法正确的是（　　） A．复数z的虚部为 B．复数z对应的点在复平面的第二象限 C．复数z的共轭复数 D．|z|＝ 8.复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1﹣z2＝，则z1•z2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 9.已知复数z1＝1﹣i，z1•z2＝1+i，则复数z2等于（　　） A．1 B．2i C．i D．2 10.复数的虚部是　　． 11.已知复数z满足z•（1﹣i）＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝　　． 12.已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第　　象限．