第二讲 向量的数量积与基本定理及坐标表示-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第二讲 向量的数量积与基本定理及坐标表示 一、知识梳理 要点一、向量的数量积 1.平面向量的数量积 如图，已知两个非零向量和，它们的夹角是θ，我们把数量||||cosθ叫作向量和的数量积(或内积或点积)，记作·，即·=||||cosθ 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0，即·=0。 【拓展】 (1)·表示数而不表示向量，符号“.”在数量积运算中既不能省略，也不能用“×”代替. (2)向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，可以是正数、负数，也可以是0.向量数量积的正负由两个向量的夹角决定. 2.平面向量数量积的几何意义 (1)投影和投影向量 设，是两个非零向量，如图，表示向量, 表示向量，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量得到向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量在向量上的投影向量. 设向量，的夹角为θ，向量在向量上的投影向量为 (2)几何意义：向量和的数量积就是向量在向量上的投影向量与向量的数量积 3.向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 (1)=·=||cosθ. (2) ·=0. (3)当与同向时，·=||||；当与反向时，·=-||||.特别地 或 。 (4)|·|≤||||(当且仅当//时，等号成立). (5)cosθ=。 4.向量数量积的运算律 已知向量，，和实数λ，则 (1)交换律：·=·； (2)数乘结合律：(λ)·=·(λ)=λ(·)=λ·； (3)分配律：(+)·=·+·. 【拓展】 (1)一般地，(·)=(·)不成立，因为·是一个数量，所以(·)表示一个与共线的向量，同理，右边(·)表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此一般情况下，(·)=(·)。 (2)由·=·(≠)不能推出=，即消去律不成立. 【练一练】已知向量a与b的夹角为120°， ，求： （1）； （2）. 要点二、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理如果，-是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2，使=1+2。 我们把两个不共线的向量，叫作这个平面的一组基底。 2.向量的正交分解 平面内任一向量可以用一组基底，表示成=1+2的形式。我们称1+2为向量的分解.当，所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。 【拓展】 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为基底，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时，分解形式唯一.1，2是被，，唯一确定的数值。 (3)，是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，2=0；当与共线时，1=0；当= 时， 1=2=0。 (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量。 【练一练】如图，的对角线AC和BD交于点O，设，，试用基底，表示和． 要点三、平面向量的坐标表示 如图1，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=.a+y=。 我们把有序实数对(x，y)称为向量的(直角)坐标，记作=(x,y)。 如图2，作 ，即有 =，则 的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)就是向量 的坐标。 显然，=(1，0)，=(0，1)， =(0，0)。 【练一练】设m，n为实数，若，，，，求m，n的值． 要点四、平面向量的坐标运算 1.向量线性运算的坐标表示 已知向量=(x1，y1)，=(x2，y2)和实数λ， 那么,，λ=(λx1，λy1)。 2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。 3.向量数量积的坐标表示 已知=(x1，y1)，=(x2，y2)，则·= 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 4.向量的模的坐标表示 (1)若=(x，y)，则 ，即 (2)对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式AB=。 5.向量夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(x1，y1)，=(x2，y2)，θ的是与的夹角，则 cosθ= 6.向量垂直的坐标表示 (1)设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则⊥ =0。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为坐标平面内的三个点，则 ==0。 7.向量平行的坐标表示 设向量=(x1，y1)，=(x2，y2)(≠)，则// 【练一练】设向量 （1）若向量 与向量 平行，求 的值； （2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值. 二、典型例题 一、利用平面向量的数量积求夹角 求两个非零向量的夹角或其余