第八讲 余弦定理、正弦定理的应用-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第八讲 余弦定理、正弦定理的应用 一、知识梳理 要点一、实际应用问题中的有关名称、术语 名称 意义 坡角 坡面与水平面的夹角 坡比 坡面的垂直高度(h)与水平宽度(1)的比 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的竖直平面内，视线与水平线的夹角 俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的竖直平面内，视线与水平线的夹角 方向 角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北(南)偏东(西) xx度 方位 角 从某点的正北方向起，依顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 【练一练】海中有一小岛B，周围3.8nmile内有暗礁，军舰由西向东航行到A处，望见岛B在北偏东75°的方向上；军舰又航行了8nmile到达C处，望见岛B在北偏东60°的方向上．若此军舰不改变航向而继续前进，有无触礁危险？ 要点二、解三角形的实际应用 1.测量距离问题的解题思路 当AB的长度不可直接测量时，求A，B间的距离有以下三种类型： （1）A，B间不可达也不可视，测得AC=b，BC=a，∠ACB=C，则由余弦定理得 ； （2）B，C与点A可视但不可达，测得BC=a，∠ABC=B，∠ACB=C，则A=-(B+C)，由正弦定理得AB=； （3）C，D与点A，B均可视不可达，测得CD=a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数。在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB。 2.测量高度问题的解题思路 （1）底部可达，测得BC=a，∠BCA=C，则AB=a·tan C； （2）底部不可达： ①点B与点C，D共线：测得CD=a及C与∠ADB的度数。先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值。 ②点B与点C，D不共线：测得CD=a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数。在△BCD中依正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值。 3.测量角度问题的解题思路测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等。通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步。 【练一练】某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情，在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向，已知在的正东方向千米处，问火场分别距离以及多远．（精确到千米）． 2、 典型例题 解三角形应用题的一般步骤： (1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语。 (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出。 (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答。 【例1】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，. （1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【例2】铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物. （1）若时，求的长； （2）当是多大时，求△OBC面积的最大值. 3、 课堂训练 1．某人从出发点向正东走后到，然后向左转150°再向前走到，测得△ABC的面积为，此人这时离出发点的距离为（ ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ） A．16海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时