第一讲 向量概念与运算-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第一讲 向量概念与运算 一、知识梳理 要点一、向量的概念及表示 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫作向量.例如：位移、力、速度、加速度等都是向量. 2.向量的表示 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为，向量也可用小写字母a、b、c来表示，书写时用、、表示。 3.向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||。 4.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作；零向量的方向是任意的。 5.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量。 【练一练】 1．在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中，正确的是（ ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 要点二、向量间的关系 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。如图，向量、、是一组平行向量。 向量与向量平行，记作。 规定：零向量与任一向量平行。 【拓展】平行向量的情况 两个平行的非零向量在其方向与长度两个要素上可能出现以下四种情况： （1）方向相同，长度不等； （2）方向相同，长度相等（相等向量）； （3）方向相反，长度相等； （4）方向相反，长度不等。 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量与相等，记作。 3.共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。 【拓展】向量相等具有传递性，即若，，则.若，，未必有。但若，则，，可得。 4.向量的夹角：对于两个非零向量，在平面内任取一点0，作 =,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量与的夹角.当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反O相向；当θ=90°时，则称向量与垂直，记作。 5.相反向量 我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作-，与-互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量； 对任意一个向量，总有-(-)=。 【练一练】 1．下列命题中，正确的是________．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 2．下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 要点三、向量的加法 1.向量加法的运算法则 (1)三角形法则 如图，已知向量和，在平面内任取一点O，作,，则向量叫作与的和，记作；即。求两个向量和的运算叫作向量的加法 三角形法则的适用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点。 (2)平行四边形法则 如图，对于任意两个不共线的非零向量和，在平面内任取一点O，分别作 ， 以OA，OC为邻边作□OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量与的和，即 += ,我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则。 平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同。 2.向量加法的运算律 (1)交换律：=+。 (2)结合律：()+=+。 3.向量加法运算的常用结论 (1) , ||≤||+|| (2)当与同向时， ||=||+||。当与反向或中至少有一个为 时， ||=||-||(或||-||)。 【练一练】如图，在△ABC中，，点E是CD的中点，设，用表示. 要点四、向量的减法 1.向量减法的定义 若+=，则向量叫作与的差，记为，求两个向量差的运算，叫作向量的减法.向量的减法是向量加法的逆运算. 2.向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作 =，则 ,这就是说，当向量起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是。 由此可知，=，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 【练一练】如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 要点五、向量的数乘 1.向量数乘的定义 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： (1)||=||||。 (2)若≠，则当>0时，与方向相同；当<0时，与方向相反。 实数与向量相乘的运算，叫作向量的数乘。 特别地，当=0时，0=；当=时，=。 2.向量数乘的几何意义 当>0时，把向量沿着的相同方向放大或缩小； 当<0时，把向量沿着的相反方向放大或缩小。 3.向量数乘的运算律 设为向量，λ，μ为实数，则 (1)结合律：λ(μ)=(λμ)； (2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ