第五讲 几个三角恒等式-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第五讲 几个三角恒等式 一、知识梳理 要点一、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 sin·cos=[sin(+)+sin(-)] cos·sin=[sin(+)-sin(-)] cos·cos=[cos(+)+cos(-)] sin·sin= -[cos(+)-cos(-)] 2.和差化积公式 sin+sin= sin-sin= cos+cos= cos-cos= - tan+ cot= tan- cot= -2cot2 1+cos= 1-cos= 1±sin=()2 【练一练】把下列各式化为积的形式： （1）； （2）． 要点二、半角公式 【练一练】已知，求，，的值． 要点三、万能公式 要点四、辅助角公式 ， 其中θ满足 当时，。 【练一练】化简： （1）； （2）. 二、典型例题 一、辅助角公式及应用 通过应用公式asinθ+bf(θ+)(或asinθ+，将形如asinθ+bcsθ(a，b不同时为零）的三角函数式收缩为一个三角函数或 ，这是研究三角函数性质的常用工具。 【例1】已知函数，. （1）若是第三象限角，且，求的值； （2）设，讨论在区间上的单调性. 二、三角恒等式的证明 恒等式的证明包括有条件的恒等式证明和无条件的恒等式证明两种.无条件的恒等式证明，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等；有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证。 【例2】证明下列恒等式： （1）； （2）． 三、课堂训练 1．已知函数，则f(x)（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 3．函数的最小正周期为（ ） A．2 B．4 C． D． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 7．已知函数()的最小正周期为，则实数（ ） A．2 B． C． D． 8．当时，函数的最大值，最小值分别为（ ） A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1 9．若则的值是（ ） A． B． C． D． 10．若，则=（ ） A． B． C． D． 11．已知和为函数（其中）的两条相邻的对称轴，则的值是（ ） A．3 B． C．2 D．1 12．可化为 A． B． C． D． 13．已知sin＝，则________． 14．已知cos＝－，则cos x＋cos＝________． 15．已知函数化成（其中，）形式________. 16．函数的单调递增区间是________ 17．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 18．函数的图象的一个对称中心为__________． 19．把下列各式化为和或差的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．化简：. 21．求证：. 22．已知，且，求的值． 23．解答： （1）化简：； （2）求值：； （3）求函数的最大值. 24．已知为坐标原点，，，若. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域. 25．已知函数（，），且函数的最小正周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的取值范围． 四、举一反三 1．已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若、是在内的两根，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（ ） A． B． C． D． 3．设，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数（，）的两个相邻零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，且，使得，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．若角α满足，则＝（　　） A． B． C． D． 8．函数的对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 9．设函数图象的一条对称轴方程为，若时，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________． 11．函数化成（，）_____ 12．函数 （）的最大值为_______． 13．已知 ，，