第四讲 三角恒等变换（和差与二倍角）-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第四讲 三角恒等变换（和差与二倍角） 一、知识梳理 要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）。 【练一练】求下列各式的值： （1）； （2） （3） （4） （5）； （6）． 要点二、公式的逆用和变形 1.逆用： 2.角的变换及应用： 3.公式变形： ； ；； ； 【练一练】利用两角和（差）的余弦公式化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 要点三、倍角公式 ⑴； ⑵； ⑶； 【练一练】1.化简： （1）； （2）. 2.求值：（1）； （2）. . 要点四、倍角公式的逆向变换及有关变形 1.配方变形：； 2.升幂公式：； 3.降幂公式：，； 二、典型例题 【例1】已知，，其中都是锐角.求： （1）的值； （2） 的值. 【例2】在△ABC中，内角､､的对边分别为､､，且. （1）求角的大小； （2）若，判断的形状. 三角函数式的化简问题 1.化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等. 2.化简要遵循“三看”原则 ①看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式. ②看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”. ③看“结构特征”，分析结构特征，有助于找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。 【例3】证明： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 二、三角函数的给值求值问题 三角函数的给值求值问题的两种形式： 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时，则应考虑将“所求角”用“已知角＂和“常用角”。 【例4】已知，求，，的值． 三、三角函数的给值求角问题 1.在给值求角时，一般地，选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角.确定角的范围是关键的一步，一定要使所选的函数在此范围内是单调的.选函数时可按照下列原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦三角函数值，选正弦或余弦函数； ③若角的范围是 可以选正弦函数，也可以选余弦函数； ④若角的范围是 选正弦函数比选余弦函数好； ⑤若角的范围是(0，π)，选余弦函数比选正弦函数好 2.三角函数给值求角问题的一般步骤； ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围结合三角函数值写出所求的角。 【例5】已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值 三、课堂训练 1．（ ） A． B．1 C． D． 2．的值是（ ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为（ ） A．sin 2x B．cos 2x C．－cos 2x D．－cos 2y 5．化简，得（ ） A． B． C． D． 6．下列等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 7．若那么的值为（ ） A． B． C． D． 8．若，且（其中），则（ ） A． B． C．2 D．-2 9．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ） A．3 B．－3 C． D． 10．已知，则（ ） A．-4 B．4 C． D． 11．在△ABC中，已知，，则C的大小为（ ） A．90° B．45° C．135° D．60° 12．以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ） A． B． C． D．3 13．___________. 14．化简________． 15．___________. 16．已知，，则的值为_______． 17．若，是方程的两个根，则__________. 18．的值是___________. 19．化简：cos(2α－β)cosβ＋sin(β－2α)sinβ. 20．设O为坐标原点，和为单位圆上的两点，且，求证：. 21．已知， ， ， ，求和. 22．证明： （1）； （2）. 23．已知. （1）求的值； （2）求值：. 24．已知. （1）若，求的值. （2）若，，且､，求的值. 四、举一反三 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．sin15°sin105°的值是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则( ) A． B． C． D． 4．下列各式的值等于的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B．2 C． D． 6．