第十一讲 基本图形位置关系-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第十一讲 基本图形位置关系 一、知识梳理 1直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面 a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α,a⊂β, α∩β＝b⇒a∥b 2平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 a⊂α,b⊂α, a∩b＝P, a∥β, b∥β⇒α∥β 定义 两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β,a⊂α⇒a∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 α∥β, α∩γ＝a, β∩γ＝b⇒a∥b 3直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行 ⇒a∥b 4平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 二、典型例题 例1 (1)在空间中,a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是(　　) A．若a⊥c,b⊥c,则a∥b B．若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥b C．若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b D．若α∥β,a⊂α,则a∥β (2)如图所示的四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) 变式 下列命题正确的是(　　) A．若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 B．若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 C．若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 例2 如图所示,四棱锥P－ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点． (1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD． 变式1 如图11.2­9所示,四边形ABCD是平行四边形,AF∥DE,DE＝2AF.求证：AC∥平面BEF. 变式2如图所示,AC,DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线,M,N分别是线段AC,DF上的点,且AM＝MC,DN＝NF.证明：MN∥平面BCF. 例3如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为2,E,F分别是棱DD1,C1D1的中点． (1)求三棱锥B1－A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行,如果平行,请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线,并说明理由． 例4如图所示,在正方体ABCD ­A1B1C1D1中,M,N,P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B． 例5 如图所示,在四棱锥P­ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF＝AB,PH为△PAD中AD边上的高．求证：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB． 例6如图所示,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD＝2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,点E和F分别是CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥平面ABCD； (2)平面BEF⊥平面P