第十四讲 概率-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第十四讲 概率 一、知识梳理 1概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A)． 2概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率P(Ω)＝1． (3)不可能事件的概率P(∅)＝0． (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)＝P(B)＝1－P(B)． 3基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 4古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型． (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的． 5如果1次试验的等可能基本事件共有n个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为P(A)＝． 6古典概型的概率公式 P(A)＝. 7条件概率及其性质 (1)对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率叫做条件概率,用符号P(A|B)来表示,其公式为P(A|B)＝(P(B)>0)． 在古典概型中,若用n(B)表示事件B中基本事件的个数,则P(A|B)＝. (2)条件概率具有的性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件, 则P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 二、典型例题 例1(1)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是,再判断它们是不是对立事件． 1 A与C ②B与E ③B与C ④C与E. (2)一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________． 变式1从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中,是对立事件的是(　　) A．① B．②④ C．③ D．①③ 变式2经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下表所示． 排队 人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)求至多2人排队等候的概率； (2)求至少3人排队等候的概率. 例2 (1)箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片,从中一次随机抽取两张,则两张号码之和为3的倍数的概率是________． (2)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图12.4­1所示就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　) A． B． C． D． 变式1书架上有3本数学书,2本物理书,从中任意取出2本,则取出的两本书都是数学书的概率为________． 变式2 设平面向量a＝(m,1),b＝(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4},记“a⊥(a－b)”为事件A,则事件A发生的概率为(　　) A． B． C． D． 三、课堂训练 1从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．至少有一个黑球与至少有一个红球 D．恰有一个黑球与恰有两个黑球 2袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232　321　230　023　123　021　132　220　001 231