第三章 微专题4 嵌套函数的零点问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

微专题(四)　嵌套函数的零点问题 第三章　函数与基本初等函数 函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．　 类型一　嵌套函数零点个数的判断 答案 解析 (2)(2023·河北张家口月考)已知定义域为(0，＋∞)的增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案 解析　因为定义域为(0，＋∞)的增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则存在唯一正实数t使得f(t)＝1，且f(x)－ln x＝t，即f(x)＝t＋ln x，于是得f(t)＝t＋ln t＝1，而函数y＝t＋ln t在(0，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，t＋ln t＝1，因此t＝1，f(x)＝1＋ln x， 解析 方程f(x)＝－x2＋4x－2⇔1＋ln x＝－x2＋4x－2⇔ln x＝－x2＋4x－3，于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点的个数，在同一坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象如图，观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3．故选A． 答案 解析　令μ＝f(x)，令g(x)＝0，则f(μ)－2＝0，当μ＞1时，则f(μ)＝ln (μ－1)，所以ln (μ－1)－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f(μ)＝－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f(x)的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f(x)的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f(x)的图象有2个交点，因此函数g(x)有3个零点．故选A． 解析 方法总结 (1)通过直接解关于x的方程f(g(x))＝0进行求解． (2)通过画出函数f(g(x))的图象，并判断该函数的图象与x轴的交点个数进行求解． (3)将方程f(g(x))＝0构造成h(x)＝u(x)形式，即转化为函数h(x)，u(x)的图象交点个数进行求解． (4)换元法：令t＝g(x)，设f(t)＝0的实根为ti(i＝1，2，…)，则f(g(x))＝0的实根个数等价于直线y＝ti与函数g(x)图象的交点个数总和或关于x的方程ti＝g(x)的实根个数总和．即首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数． 答案 解析 答案 解析　设s为x－f(g(x))＝0的实数解，即f(g(s))＝s，令g(s)＝t，则f(t)＝s．∴g(f(t))＝g(s)＝t，即t为g(f(x))＝x的实数解，g(f(x))＝x有实数解，∴结合各选项的函数，判断其图象与直线y＝x是否有交点即可，如图所示．由图可知，当g(f(x))＝|x|＋1时，无交点，即g(f(x))＝x无实数解．故选C． 解析 答案 解析 答案 解析 若m＝0，则Δ＝0，g(t)有一个零点t＝0，此时方程组有1个解；若0＜m＜4，则Δ＜0，g(t)没有零点，此时方程组无解；若m＝4，则Δ＝0，g(t)有一个零点t＝2，此时方程组有2个解；若m＞4，则Δ＞0，g(t)有两个零点t1，t2，且由g(1)＝1＞0，g(2)＝4－m＜0，知1＜t1＜2＜t2，此时方程组有4个解．故选C． 解析 类型二　根据嵌套函数零点的个数求参数的取值范围 答案 解析 (2)(2022·河北衡水联考)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈R，若函数g(x)＝f(f(x))－f(x)＋m有两个不同的零点，则m的取值范围是_________． 答案 解析 答案　(2，3] 答案 解析　因为f(x)为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的t∈R，使得f(t)＝10，则f(x)－2x－2x＝t，f(t)－2t－2t＝t，即f(t)＝2t＋3t＝10，因为函数y＝2t＋3t为增函数，且22＋3×2＝10，所以t＝2，f(x)＝2x＋2x＋2．当x≤0时，由g(x)＝0，得a＝2x＋2；当x＞0时，由g(x)＝0，得a＝|log2x|－1．结合函数的图象可知，若g(x)有3个零点，则a∈(2，3]． 解析 名师点拨　已知嵌套函数的零点个数求参数范围，先估计关于f(x)的方程g(f(x))＝0中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图象特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而决定参数的范围． 答案 解析 答案 解析