第三章 微专题3 双变量“存在性或任意性”问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

微专题(三)　双变量“存在性或任意性”问题 第三章　函数与基本初等函数 双变量的“存在性或任意性”问题，是高考的热点之一，尤其在函数、导数、不等式中出现较多．解决此类问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系或两个函数最值的大小比较． ∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的任意一个函数值都等于函数y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，即函数y＝f(x)在区间A上的函数值都在函数y＝g(x)在区间B上的值域之中． 类型一　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” 答案 解析 名师点拨　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等价转化为求值域，即函数f(x)在区间A上的值域是g(x)在区间B上的值域的子集，若改为∃x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，则函数g(x)在区间B上的值域是f(x)在区间A上的值域的子集． 解 解 解 ∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在区间A上的值域与g(x)在区间B上的值域的交集不空．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的某一个函数值等于函数y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值． 类型二　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” 解 名师点拨　本类问题的实质是“函数f(x)在区间A上的值域与g(x)在区间B上的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想． 解 解 ∀x1∈A，∃x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，即f(x)max≤g(x)max．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的任意一个函数值小于等于函数y＝g(x)在区间B上的某一个函数值，但并不要求小于等于函数y＝g(x)在区间B上的所有函数值． 类型三　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)≤g(x2)成立” 答案 解析 名师点拨　理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max≤g(x)max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围． 答案 解析 类型四　形如“存在x1∈A，对任意x2∈B，都有f(x1)≤g(x2)成立” ∃x1∈A，∀x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，即f(x)min≤g(x)min，其等价转化的基本思想是：f(x)在区间A上至少有一个函数值小于等于函数g(x)在区间B上的任意一个函数值． 解 解 名师点拨　解决本题的关键是对条件的理解及转化，将条件转化为f(x)min≤g(x)min，然后求解参数的取值范围． 解 解 本课结束 　　　已知幂函数f(x)＝(a2－3)xa2＋a－2在(0，＋∞)上单调递减，函数h(x)＝3x＋m，对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝h(x2)，则m的取值范围为_________． 答案　 解析　∵f(x)＝(a2－3) x eq \s\up9(\f(1,2))a2＋a－2是幂函数，∴a2－3＝1，即a＝±2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则 eq \f(1,2)a2＋a－2＜0，可得a＝－2，∴f(x)＝x－2＝ eq \f(1,x2)，∴f(x)在[1，3]上的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，1))．又h(x)在[1，2]上的值域为[3＋m，9＋m]，根据题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＋m≥1，,3＋m≤\f(1,9)，))解得－8≤m≤－ eq \f(26,9)，∴m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－8，－\f(26,9)))． 解　f(x)＝ eq \f(4x,2x－1)－2＝ eq \f((2x)2－1＋1,2x－1)－2＝2x－1＋ eq \f(1,2x－1)， 设t＝2x－1，x∈[1，2]，则t∈[1，3]， 又y＝t＋ eq \f(1,t)在[1，3]上单调递增，则2≤y≤ eq \f(10,3)， 即f(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))． 对点训练 1．设函数f(x)＝－2，g(x)＝x2－ax＋1，若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，f(x1)＝g(x2)，求正实数a的取值范围． 设x∈[1，2]时，函数g(x)的值域为A， 由题意知 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))