第六章 微专题8 平面向量与三角形的 “四心”-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

微专题(八)　平面向量与三角形的 “四心” 第六章　平面向量、复数 向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，常运用数形结合思想解题，且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，是高中数学知识的一个交汇点．三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质．在高考中常将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查，这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上理解向量的几何意义． 三角形各心的概念： 1．重心——三角形的三条中线的交点； 2．垂心——三角形的三条垂线的交点； 3．内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 4．外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． 类型一　平面向量与三角形的“重心”问题 答案 解析 名师点拨　重心性质 (1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. (2)重心和三角形三个顶点组成的三个三角形的面积相等． 答案 解析 类型二　平面向量与三角形的“外心”问题 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案　1 答案 解析 答案 解析 答案 解析 本课结束 　已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 解析　取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心． (3)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (4)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G. 解析　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹一定过△ABC的重心. 对点训练 1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 　(2022·广东江门市一模)已知点O为△ABC的外心，AB的边长为2，则·＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析　因为点O为△ABC的外心，设AB的中点为D，连接OD，则OD⊥AB，如图．所以·＝·(＋)＝·＋·＝2＋0＝×22＝2. 名师点拨　常用外心向量式(O是△ABC的外心) (1)||＝||＝||⇔2＝2＝2. (2)(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. (3)动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定过△ABC的外心． 对点训练 2．已知点P是△ABC的内心(三个内角平分线交点)、外心(三条边的中垂线交点)、重心(三条中线交点)、垂心(三个高的交点)之一，且满足2·＝2－2，则点P一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析　设D为BC的中点，可得＋＝2，∵2－2＝(＋)·(－)，∴点P满足2·＝2－2＝2·(－)．∵＝－，∴2·＝2·，移项得2·(－)＝0，即·＝0，得⊥.结合D为BC的中点，可得P在BC的垂直平分线上，又点P是△ABC的内心、外心、重心和垂心之一，∴结合三角形外接圆的性质，得点P是△ABC的外心. 类型三　平面向量与三角形的“垂心”问题 　(2022·天津高考)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析　因为＝＋λ，所以＝－＝λ，所以·＝·λ＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． 名师点拨　常见垂心向量式(O是△ABC的垂心) (1)·＝·＝·. (2)||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2. (3)动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定过△ABC的垂心． (4)奔驰定理推论：S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝|tanA|∶|tanB|∶|tanC|，tanA·＋tanB·＋tanC·＝0. 对点训练 3．(2022·广东深圳期末)设O，H分别为斜三角形ABC的外心与垂心，若＝m(＋＋)(m∈R)，则m＝________. 解析　如图所示，∵＝m(＋＋)，＝－，