第九章 微专题11 解决解析几何问题常用的几种方法-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

微专题(十一)　解决解析几何问题常用的几种方法 第九章　平面解析几何 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题． 类型一　共线问题转化法 圆锥曲线中的三点共线问题是比较重要的问题，解决这类问题通常用转化法． 解 (2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 必要性：若M，N，F三点共线， 解 解 解 方法总结　解析几何证明三点共线的方法 (1)直接证明其中一点在过另两点的直线上． (2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等． (3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线． 解 解 解 类型二　垂直关系转化法 圆锥曲线中的垂直关系问题是非常重要的问题，解决这类问题的方法通常是转化为斜率之间的关系或向量的数量积． 双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F. (1)求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由． 解 解　(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)． 因为双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F(2,0)， 所以当AB⊥x轴时，x＝2，y＝0； 当AB与x轴不垂直时，x－y＝2，x－y＝2， 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y， 所以x(x1－x2)－y(y1－y2)＝0. 所以x(x－2)－y·y＝0，即x2－2x－y2＝0. 又点(2,0)满足上式，点A，B在双曲线x2－y2＝2的右支上，所以x≥2， 故所求中点M的轨迹方程为x2－2x－y2＝0(x≥2)． 解 (2)假设存在以AB为直径，且过原点O的圆． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当AB⊥x轴时，|AF|≠|OF|， 所以可设lAB：y＝k(x－2)(k>1或k<－1)． 由已知，得OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.(*) 解 (1)求椭圆C的离心率； (2)设D(0,1)是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标． 解 解 解 解 解 类型三　对称关系转化法 对称关系转化法也是高考经常考的一种方法，常见的转化有：将角的关系转化为直线斜率之间的关系，将两条直线的对称关系转化为它们斜率之间的关系等等． (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)； (2)设O为坐标原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 解 解 解 名师点拨　将角的相等转化为它们的正切函数值相等，是解决本题的关键． 对点训练 3．(2023·山东临沂模拟)如图，已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16. (1)求抛物线C的方程； (2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解 解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)． (1)当直线l的倾斜角为45°时，l的斜率为1， 则x1＋x2＝3p， 所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，解得p＝4， 所以抛物线C的方程为y2＝8x. 解 (2)假设满足条件的点P存在，设P(a,0)，由(1)知F(2,0)． 显然，直线l的斜率不为0，设l：x＝my＋2， 且直线PM，PN关于x轴对称， 所以kPM＋kPN＝0， 即(x2－a)y1＋(x1－a)y2＝0， 所以(my2＋2－a)y1＋(my1＋2－a)y2＝0， 解 即2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝2m×(－16)＋(2－a)×8m＝0，解得a＝－2， 所以存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称． 类型四　回归定义法 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知