第二章 微专题1 一元二次方程根的分布-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 微专题(一)　一元二次方程根的分布 微专题 微专题 微专题 微专题 例1　(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________． 微专题 (2)(2023·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________． 微专题 名师点拨　当方程中二次项系数有字母参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0. 微专题 微专题 微专题 2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________． 微专题 微专题 微专题 微专题 微专题 例2　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 微专题 解 微专题 解 微专题 方法总结　求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值． 注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法． 微专题 对点训练 3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________． 答案　 (0，1) 微专题 微专题 4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________． 答案　 (－3，0) 微专题 类型三　可转化为一元二次方程根的分布的问题 一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解． 微专题 微专题 微专题 名师点拨　本题中，令sinx＝t，将原问题转化为3t2＋at＋a＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意． 微专题 微专题 微专题 微专题 微专题 名师点拨　复合函数零点个数问题，要先画出函数的图象，通过换元后数形结合，将零点个数问题转化为一元二次方程根的分布问题，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数． 微专题 微专题 微专题 微专题 本课结束 所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号； (2)对称轴方程x＝－eq \f(b,2a)与所给区间的位置关系； (3)区间端点处函数值的符号． 一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类： 类型一　已知两根与实数k的大小关系 根的分布情况 两根都小于k，即x1<k，x2<k 两根都大于k，即x1>k，x2>k 一根小于k，一根大于k，即x1<k<x2 大致图象(a>0) 得出的结论 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)<k，,f（k）>0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)>k，,f（k）>0)) f(k)<0 根的分布情况 两根都小于k，即x1<k，x2<k 两根都大于k，即x1>k，x2>k 一根小于k，一根大于k，即x1<k<x2 大致图象(a<0) 得出的结论 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)<k，,f(k)<0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)>k，,f(k)<0)) f(k)>0 综合结论(不讨论a) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)<k，,a·f(k)>0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)>k，,a·f(k)>0)) a·f(k)<0 答案　[－1＋2eq \r(2)，2) 解析　设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，则eq \b\lc\{(\a\