第八章 微专题10 空间几何体外接球的五种类型-【金版教程】2024高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

微专题(十)　空间几何体外接球的五种类型 第八章　立体几何与空间向量 空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题． 类型一　“墙角”模型问题 具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建两两垂直模型，亦即墙角模型．将几何体放入长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这就是处理此类问题的简捷途径． 答案 解析 名师点拨　三条棱两两垂直的情况如下： 对点训练 1.鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A－BCD是一鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，AC⊥CD，且BC＝DC＝3，AB＝4.则三棱锥A－BCD外接球的表面积是(　　) 答案 解析 类型二　“对棱相等”模型问题 三棱锥的对棱相等，应用数学建模素养，构建长方体模型，亦即对棱模型．将几何体放入长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这就是处理此类问题的简捷途径． 答案 解析 方法总结　三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)，可转化为求长方体的外接球半径． 答案 答案　13π 解析 类型三　“汉堡”模型问题 对于直棱柱，应用数学建模的素养，结合球与直棱柱的有关性质，建立“汉堡”模型，上、下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心，球心到各个顶点的距离都等于球的半径． 答案 解析 解析 对点训练 答案 答案　164π 解析 类型四　“心有所依”模型问题 “心有所依”模型适用于圆锥、侧棱相等的棱锥等几何体，可得球心必在圆锥(或过棱锥相等侧棱交点)等几何体的高所在的直线上，由此可把相关信息转嫁到某一个直角三角形内，利用勾股定理求解． 答案 解析 答案 解析 名师点拨　空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，涉及球与多面体的外接问题时，一般是过球心及多面体的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． 答案 解析 类型五　“双心”模型问题 “双心”即几何体外接球的球心和三角形的外心．此类试题通常利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，画出几何体的直观图，利用三角形的外心来确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 答案 解析 方法总结　如图，在三棱锥P－ABC中， (1)选定底面△ABC，定△ABC外接圆圆心O1； (2)选定面△PAB，定△PAB外接圆圆心O2； (3)分别过O1，O2作面ABC、面PAB的垂线，两垂线的交点即为外接球的球心O. 答案 解析 本课结束 　若三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝eq \r(2)，则其外接球的表面积为(　　) A．6π B.12π C.18π D.24π 解析　侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝eq \r(2)，PA，PB，PC作为正方体的棱长，如图，设外接球的半径为R，则正方体的对角线的长为2R＝eq \r(2＋2＋2)＝eq \r(6)，所以R＝eq \f(\r(6),2)，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.故选A. A．25π B.34π C．100π D．eq \f(17\r(34)π,3) 解析　易得三棱锥A－BCD外接球的直径为AD，则AD＝eq \r(42＋32＋32)＝eq \r(34)，故三棱锥A－BCD外接球的半径R＝eq \f(\r(34),2)，所以外接球的表面积为S＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(34),2)))2＝34π.故选B. 答案　eq \f(13\r(26)π,3) 　在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，PB＝AC＝eq \r(17)，PC＝AB＝eq \r(10)，则该三棱锥外接球的体积为________. 解析　由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示，记该长方体同一个顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝10，,a2＋c2＝17，,b2＋c2＝25，))即a2＋b2＋c2＝26，所以外接球的半径R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq \f(\r(26),2)，体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(13\r(26)π,3). 对点训练 2．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2eq \r(3)，AC＝BD＝eq \r(10)，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是________. 解析　因