专题01 平面向量夹角与投影（讲+练）-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习讲练测（人教A版2019必修第二册）

专题1 平面向量夹角与投影 目录 【题型一】向量夹角1：通过模求夹角 1 【题型二】向量夹角2：坐标型求夹角 2 【题型三】向量夹角3：“复合向量”型夹角 2 【题型四】向量夹角4：夹角最值型 （难点） 3 【题型五】向量投影 4 【题型六】投影向量 5 【题型七】向量投影范围与最值（难点） 6 好题必刷 7 【题型一】向量夹角1：通过模求夹角 求平面向量夹角的方法： 定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； 1、已知和为非零向量，且，与的夹角为（       ） A． B． C． D． 2、若向量，满足，，．则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 3、已知，为单位向量，若，则，的夹角为（       ） A． B． C． D． 4.已知和为非零向量，且，与的夹角为（       ） A． B． C． D． 5.已知平面向量满足，则向量的夹角为（       ） A． B． C． D． 6.平面非零向量，满足，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【题型二】向量夹角2：坐标型求夹角 求平面向量夹角的方法： 坐标法：若非零向量、，则. 1.已知平面向量，，若，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 2.已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4.已知，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 5.已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6已知向量，，，若，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【题型三】向量夹角3：“复合向量”型夹角 “复合型”求夹角，直接用“换元思维”代入公式即可 1.已知向量满足，且，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 2.已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 4.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 5.已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 6.已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【题型四】向量夹角4：夹角最值型 （难点） 向量最值型： 1.平面向量数量积公式有两种形式， （1）， （2），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； 2.求最值，涉及到数形结合与均值不等式，以及函数、三角函数等综合应用 1.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ） A． B． C． D． 2.已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3.已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 4.已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ） A． B． C． D． 5.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 6.已知，为平面内两个不共线的向量，满足，，，则与的夹角的最小值是（      ） A． B． C． D． 【题型五】向量投影 向量的投影 定义：如图，设，是两个非零向量，，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 1.圆为的外接圆，半径为2，若，且，则向量在向量方向上的投影为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ） A．​ B．1 C．​ D．2 3.已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 4.已知平面向量，满足，，，则在上的投影为（    ） A． B．1 C．2 D． 5.已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（    ） A． B．3 C． D．1 6.在中，，若，则向量在上的投影是（    ） A． B． C． D