8.5.3 平面与平面平行（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

8.5.3 平面与平面平行 重点：对空间中平面与平面的判定定理和性质定理的理解； 难点：判定定理和性质定理的应用. 一、平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 二、平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 三、利用判定定理证明两平面平行的步骤 1、在一个平面内找出两条相交直线； 2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； 3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 题型一 判定定理与性质定理辨析 【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列条件中能推出平面平面的是（ ） A．存在一条直线，， B．存在一条直线， ， C．存在两条平行直线，，，，， D．存在两条异面直线，，，，， 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）． ①都垂直于平面r，那么 ②都平行于平面r，那么 ③都垂直于直线l，那么 ④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2022春·河北张家口·高一张北县第一中学校考阶段练习）设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一个平面 【变式1-3】（2022·高一课时练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ） A． B． C． D． 题型二 面面平行的证明 【例2】（2023·全国·高一专题练习）在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO． 【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面． 【变式2-2】（2022春·江苏常州·高一校联考期中）如图，分别为线段中点，且三点不共线.求证：平面MNP//平面α 【变式2-3】（2022春·安徽淮南·高一淮南第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，分别为线段，，的中点， 证明：平面平面. 题型三 由面面平行证明线线平行 【例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 【变式3-1】（2021春·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点．是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：． 【变式3-2】（2023·高一课时练习）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长． 【变式3-3】（2020·高一课时练习）如图所示，已知三棱柱中，是的中点，是的中点，设平面平面，平面平面，求证：. 题型四 由面面平行证明线面平行 【例4】（2023·全国·高一专题练习）平行四边形和平行四边形不在同一平面内，、分别为对角线，上的点，且．求证：平面． 【变式4-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面 【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面 【变式4-3】（2023春·全国·高一专题练习）如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，、、分别为、、的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证：在四棱锥中，平面. 题型五 面面平行中的动点问题 【例5】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由． 【变式5-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点． （1）求证：平面. （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，