18.2 勾股定理逆定理-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（沪科版）

18.2勾股定理逆定理 1．掌握勾股定理逆定理的概念并会证明，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形． 2．会利用勾股定理逆定理解决一些简单的角度、面积计算问题． 1、 互逆命题与互逆定理 探究： 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a、b、c： 2.5,6,6.5 12 16 20 （1）这三组数都满足 +吗？ （2）画出图形，他们都是直角三角形吗？ 猜想： 命题：如果三角形的三边长 a、b、c满足+，那么这个三角形是直角三角形． 此命题与勾股定理比较，这两个命题的题设和结论有何关系？ 总结： （1）如果一个命题的题设和结论分别是一个命题的结论和题设，则这样的两个命题叫作互逆命题．如 果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． （2）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称作原定理的逆定理，称 这两个定理互为逆定理． 注意： ①一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理． ②一个真命题的逆命题，不一定是真命题 2、 勾股定理逆定理 1.如果三角形的三边长 a、b、c满足+，那么这个三角形是直角三角形。 注意： （1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判断是否为直角三角形的一般步骤是： ①确定最大边（不妨设为c ）； ②若+ ，则 是以C为直角的直角三角形； （2）定理中的 a、b、c及+ 只是一种表现形式，不能认为是唯一的．若三角形三边长 a、b、c 满足+，那么以 a、b、c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 2.能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即 +中，a、b、c 为一组勾股数 题型一 判断三边是否能构成直角三角形 【例题1-1】下列条件中，能判断是直角三角形的是（       ） A． B．，， C．， D． 【例题1-2】下列各组数中能作为直角三角形三边的是（    ） A．3，3，5 B．9，6，8 C．4，5，6 D．5，12，13 【例题1-3】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互补 B．三角形内角和等于180° C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方 D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【变式1-1】如图，四边形的对角线垂直平分于点，点为边上一点，且，，，，则的长度为____________． 【变式1-2】已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________． 【变式1-3】已知的三边长BC、AC、AB分别为a、b、c，且的算术平方根为5，立方根为3，与互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)直接写出的形状，并计算其周长； (3)求的面积． 【同步测试1-1】如图，已知中，，是上一点，且，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【同步测试1-2】问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 题型二 勾股定理逆定理求解问题 【例题2-1】下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（    ） A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5 【例题2-2】如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°． 【例题2-3】在的网格中，小正方形的顶点称为格点．如图，A，B是格点，画等腰，使点C是格点，且分别满足下列条件： (1)（画在图①中）； (2)的面积为5（画在图②中）； (3)使的面积最大（画在图③中）． 【变式2-1】如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，，，，，求的度数． 【变式2-2】如图①所示，，，是上一点，，是上一点，，，，求四边形的面积． 仔细阅读下面的解法，解决问题： 【解法一】：如图②， ，， 由勾股定理得 过作，由勾股定理得