18.1 勾股定理-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（沪科版）

18.1勾股定理 1．经历勾股定理的探索过程，并会用它进行相关的计算． 2．理解勾股定理的证明，会用类似方法解决正方形相关的面积问题． 1、 勾股定理探索 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c， 那么 +． 即直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 需要注意的是： （1）如上图所示：勾——短的直角边，股——长的直角边，弦——斜边． （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形． 2、 勾股定理的证明 1.赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”） 如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a，b(b),斜边c，中间是正方形，且边长为b-a. 而4个直角三角形的面积为4, 中间小正方形面积为 =4+, 即+． 2.邹元治的证明 如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，中间是正方形，且边长为c。 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 +=2ab+, 大正方形面积 ， 且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积， =2ab+ 即+． （3)1976年美国总统伽菲尔德的证明 如图是由2个以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形. , S=ab+ =ab+ 即+． 3、 简单应用 思考1： 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？ 思考2： 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 分析： 如果能画出长为，的线段，就能在数轴上画出， 如果我们把，当成直角三角形的斜边，我们只要找到它们对应的正整数直角边就可以了（正整数长度的线段我们是可以画出来的．），然后通过构造直角三角形解决． 思考1作法：在数轴上构造直角三角形，利用勾股定理来确定． 思考2：我们知道了长为 的线段是两条直角边都为1的直角三角形的斜边． 利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2和3的直角三角形的斜边长为 ，由此我们可以 依照如下方法在数轴上找到表示的点。 作法： ①在数轴上找到点A，使OA=3 ②过点A作直线L ,在L上取点，使AB=2 ③以O为圆心， OB为半径画弧，与数轴交于点C，C即是表示的点． 总结： 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它的对应点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难，由此，我们可构造直角三角形，利用勾股定理来确定 从图中两个较小的正方形出发，又可以分别作出一个类似的图形，就这样一生二、二生四、四生八，继续繁殖下去，就长成了美丽的勾股树． 题型一 勾股定理与三角形 【例题1-1】在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（        ） A． B． C． D． 【例题1-2】勾股定理在《九章算术》中的表述是，“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是（       ） A．3 B． C． D． 【例题1-3】直角三角形两条直角边的长分别为3，4，斜边的长为（    ） A．5 B． C．7 D．5或 【变式1-1】等边三角形的面积是，则它的周长等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】中，于，，，，用、表示的长为___________． 【变式1-3】已知：如图，在中，，是的角平分线，，，求的长． 【同步测试1-1】已知，，，． (1)试用直尺和圆规作的中垂线．（不写作法，保留痕迹） (2)的中垂线交于点，求的面积． 题型二 勾股定理证明 【例题2-1】下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【例题2-2】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， ，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（    ） A．420 B．440 C．430 D．410 【例题2-3】在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【变式2-1】下面图形能够验证勾股定