14二项分布、超几何分布与正态分布 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 14 二项分布、超几何分布与正态分布 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)． X 0 1 … m P … 即： 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 知识链接02 伯努利试验与二项分布 （1）伯努利试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． （2）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 知识链接03 正态分布 （1）正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于x＝μ对称． ③曲线在x＝μ处达到峰值. ④曲线与x轴之间的面积为1. ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （3）正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)． （4）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 知识链接04 几种特殊分布的均值、方差 （1）若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． （2）若随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝np，其中p＝． （3）若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． （4）若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 正态分布及其应用 （1）设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X>4)＝P(X<0)，则μ＝________． （2）某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为________． （3）已知随机变量X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.64，P(0<Y<2)＝p，则P(Y>4)＝________． （4）设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ等于________． （5）设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) （6）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量_______次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)． （7）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度(单位：分米)，按数据分成[1.2,1.3)，[1.3,1.4)，[1.4,1.5)，[1.5,1.6)，[1.6，1.7)，[1.7,1.8]这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59, 1.59, 1.61, 1.61, 1.62, 1.63, 1.63, 1.64, 1.65, 1.65, 1.65, 1.65, 1.66, 1.67, 1.68, 1.69, 1.69，1.71，1.72,1.74