13离散型随机变量的分布列、均值与方差 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 13 离散型随机变量的分布列、均值与方差 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 离散型随机变量的分布列 （1）随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． （2）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②i＝1； ③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi－1＋…＋pj． 知识链接02 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn （1）均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识链接03 均值与方差的性质 （1）E(aX＋b)＝aE(X)＋b； （2）D(aX＋b)＝a2D(X) (a，b为常数)； （3）D(X)＝E(X2)－(E(X))2． X 0 1 P 1－p p 知识链接04 两点分布 如果随机变量X的分布列为 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布． 其中p＝P(X＝1)，称为成功概率． 特别地：E(X)＝p ； D(X)＝p(1－p) ． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 离散型随机变量分布列的性质 X 1 2 3 4 5 P p （1）设随机变量X的分布列如下： 则p为________． （2）已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________． X 1 2 3 4 P m （3）设随机变量X的概率分布列为 则P(|X－3|＝1)＝________． （4）随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，则n＝________． （5）已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________． （6）已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1,22)， 则E(Y)＝________，D(Y)＝________． 典例剖析02 离散型随机变量分布列的求法 （1）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列． （2）有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．求随机变量X的分布列． （3）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． （4）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求该顾客获得的奖品总价值X元的分布列． 典例剖析03 离散型随机变量的均值与方差 （1）现有A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________. （2）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某