1.4.2 角平分线的判定 课件 2022－2023学年北师大版数学八年级下册

1 复习与导入: 请你回答下列问题 问题1. 什么叫角平分线? 问题2. 角平分线有什么性质? 问题3. 如何判断角平分线? (读1遍) 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 你能写出这个定理的逆命题吗? 角平分线的性质的逆命题 是 : 如果有一个点到角两边的距离相等, 那么这个点必在这个角的平分线上. (读1遍) 它是真命题吗? 复习与导入: 学习新课: 1.4.2 角平分线的判定 学习目标: 1.熟记角平分线的性质定理, 角平分线的判定定理; 2、会基本应用。 新知讲解 已知:如图 ,点P为∠AOB内一点, PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE. 求证:OP 平分∠AOB. 证明:∵ PD⊥OA于D,PE⊥OB于E ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° . ∵ PD = PE,OP = OP, ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴ ∠1 =∠2 ∴ OP 平分 ∠AOB. 定理:在一个角的内部, (读1遍) 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 定理验证: 定理:在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 新知讲解 读写定理: 在一个角的内部, (读1遍) 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言:(读1遍) ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴ 点P在∠AOB的平分线上 (或∠1=∠2). 角平分线的判定定理: 1.角平分线的性质定理: \ PD = PE OP 是 的平分线 ∵ 读写定理:(文字读1遍,几何语言写1遍) 角平分线上的点到角两边的距离相等。 用途:证线段相等 2.角平分线的判定定理: 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 ∵ PD = PE \ OP 是 的平分线 用途:判定角平分线, 从而得到相等的角。 7 想一想: 如图是一块三角形草坪, 现要在草坪上建一个凉亭供大家休息. 若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等, 则凉亭应建在三角形草坪 ( ) A.三条角平分线的交点处 B.三条中线的交点处C.三条高的交点处 D.三条边的垂直平分线的交点处 A 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 画一画: 分别画出下列三角形三个内角的平分线, 你发现了什么? 发现:三角形的三条内角平分线相交于一点。 (读1遍) 已知:在△ABC 中,BM 与CN分别平分 ∠ABC与∠ACB,PD⊥AB于D, PE⊥BC于E,PF⊥AC于F 求证:PD = PE = PF. P 在∠BAC 的角平分线上. A B C P E F M D N 证明:∵ BM 是△ABC 的角平分线, PD⊥AB于D,PE⊥BC于E, ∴ PD = PE 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. ∴ P 在∠A 的平分线上 , 即 ∠A 的平分线经过 P. 定理:三角形的三条内角平分线相交于一点, 这点到三边的距离相等。 (读1遍) 定理: 三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等 ( 这个交点叫做三角形的内心 ). 归纳总结:(读1遍) 11 归纳总结: 三角形的三条内角平分线相交于一点, 这点到三边的距离相等。 三角形的平分线: 三角形的三条角平分线_, 并且这点到三边的距离_. 即PD =_ =_. 交于一点 相等 PE PF A B C P E F M D N 比较 三角形三边的垂直平分线 的性质定理 和 三角形三个内角角平分线 的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 交点性质 知识总结 交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点 交于三角形内一点 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边 的距离相等 1. 已知: OE 平分∠AOB, P 为 OE 上一点, PC⊥OA 于 C, 且 PC = 5, 则 P 点到 OB 的距离为_. A O E B P C 巩固训练: 5 2. 如图,在 Rt△ACB 中, ∠ACB =90°,∠B = 40°, AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点, DE⊥AB 于 E, 则∠CAD = _. A C B D E 25° 3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, AD平分∠BAC,交BC于点D, AB=10,△ABD的面积是15, 则CD的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A 4.如图,在△ABC中, ∠ABC和∠ACB的平分线交于点F, 过点E作DE∥BC交AB于D,交AC于E, 若BD+CE=9, 则线段DE的长( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9 5.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA,PD⊥OA于D, PC=4,则PD=_. 2 6.如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个