8.5.1 直线与直线平行（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.5.1 直线与直线平行 【大单元教学】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册） 【单元目标】 课程目标 1.正确理解基本事实4和等角定理； 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 数学学科素养 1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解； 2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用. 【单元知识结构框架】 教学重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 教学难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行，在空间中，是否也有类似的结论? 引入新课 新知探究 符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c. 1.平行线的传递性 基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 典例分析 例1：如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． 【证明】如图所示，取DD1的中点Q， 连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点，所以EQ═∥A1D1. 因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1═∥B1C1， 所以EQ═∥B1C1， 题型一 基本事实4的应用 7 所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E═∥C1Q. 又Q，F分别是D1D，C1C的中点， 所以QD∥C1F，且QD═C1F 所以四边形DQC1F为平行四边形， 所以C1Q∥FD且C1Q═FD. 又B1E∥C1Q且B1E═C1Q ， 所以B1E∥FD且B1E═FD ， 故四边形B1EDF为平行四边形． 8 典例分析 例2.已知、、、是所在线段上的点，且． 求证：． 证明：点、、、为空间四边形边、、、上的点 直线平面，直线平面 又直线平面 又平面且平面平面 9 方法技巧 证明空间中两条直线平行的方法 （1）利用平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等）来证明． （2）利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 题型二 等角定理的应用 10 2．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补． 11 典例分析 题型二 等角定理的应用 例2.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′. 证明:如图所示,连接EE′.   因为E,E′分别是AD,A′D′的中点, 所以AE∥A′E′,且AE=A′E′. 所以四边形AEE′A′是平行四边形. 所以AA′∥EE′,且AA′=EE′. 又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′. 所以四边形BEE′B′是平行四边形. 所以BE∥B′E′. 同理可证CE∥C′E′. 又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同, 所以∠BEC=∠B′E′C′. 12 应用等角定理的注意事项 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补. 解题技巧 1.已知，，，则　　 A． B． C．或 D．大小无法确定 【解答】已知，，， 当角的方向相同时，， 当角的方向相反时，， 故选：． 课堂检测 2．空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为　　 A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 【解答】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等． 本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补． 故选：． 3．设与的两边分别平行，若，则　　． 【解答】如图，因为 所以，， 因为， 所以，， 所以，， 即若两角的两边互相平行，则这两个角相等或互补． 所以与相等或互补， 因为， 所以或， 故答案为：或． 4．如图，已知、分别是正方体的棱和棱上的中点，求证：四边形是菱形． 【解答】证明：取棱中点为，连、， 由正方体性质，侧面为正方形， 又、分别为边、中点， 所以，， 从而四边形为平行四边形， ，， 又、分别为棱、中点， 由侧面为正方形，知四边形 为平行四边形， 所以，， 又，， 由平行公理可知，， 从而四边形为平行四边形． 由为正方体，不妨设其棱长为，易 知