专题强化05 勾股定理中的最值问题-2022-2023学年八年级数学下册知识考点过关周周测（沪科版）

专题005勾股定理中的最值问题 一、解答题 1．如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知长方体的长、宽高分别是是，是，是，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？ 2．如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 4．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 5．如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的最短路线长为a，则a的值是_______． 6．如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 7．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上． (1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． (2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 8．如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？ 9．一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点A爬到顶点B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1． (1)在图②中标出点B的位置． (2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长． 10．如图，在长方体中，点E是棱的中点，已知cm，cm，cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题005勾股定理中的最值问题 一、解答题 1．如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知长方体的长、宽高分别是是，是，是，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？ 【答案】 【分析】将长方体按照图1和图2的方式展开利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴展开图只需要考虑两种， 当按照如图1所示的方式展开的时候，由勾股定理得； 当按照如图2所示的方式展开的时候，由勾股定理得； ∵， ∴这只蜘蛛爬行的最短距离是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确将长方体按照不同的分式展开是解题的关键． 2．如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【答案】(1)见解析； (2)50万元. 【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求； （2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求. （2）解：如图，连接交于H点，过点B作， 由题意可知：，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 由对称性质可知：， 水管长， 完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元） 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典