第七章离散型随机变量及其分布列专题讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

十二讲 随机变量及其分布 问题层级图 目标层级图 课前检测(10mins) 1.设随机变量的分布列如下: 1 2 3 4 5 则 为( ) A． B． C． D． 2.若随机变量的分布列为 -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时,实数的取值范围是(　　) A． B． C． D．网ZXX 3.随机变量的分布列为:,则等于( ) A． B． C． D． 4.随机变量的概率分布规律为,其中是常数,则的值为( ) A． B． C． D．网ZXX 课中讲解 1、 会计算离散型随机变量及其分布列Lv3 一、离散型随机变量的概念 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母,,,表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列及性质 1．一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为,取每一个值的概率,则表 …… …… …… …… 称为离散型随机变量的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式表示的分布列. 2．离散型随机变量的分布列的性质 ①()； ②. 例1. 若离散型随机变量的概率分布列为: 0 1 试求出常数与的分布列. 例2. 掷两颗骰子,设掷得点数和为随机变量: (1)求的分布列； (2)求. 过关检测(10mins) －1 0 1 0.5 1. 设是一个离散型随机变量,其分布列为: 则等于(　　) A．1 B． C． D． 2.设随机变量X的概率分布列如下表所示: 0 1 2 ,则当的取值范围是时, 3. 某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为, ；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,；两人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ,求的分布列与数学期望 . 二、会计算常见离散型随机变量的分布列Lv4 一、两点分布 0 1 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为， 其中称为成功概率。 例1 某项实验的成功率是失败率的2倍,用随机变量描述一次实验的成功次数,求的分布列. 二、相互独立事件 1.事件的相互独立性 设为两个事件,如果,则称事件A与事件B相互独立. 2.判断相互独立事件的方法 ①利用定义:事件A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。 ②利用性质:与相互独立,则与,与,与也都相互独立. 例1 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 三、二项分布 在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量,如果在一次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是:, 于是得到随机变量的概率分布如下: 0 1 … … … … 由于恰好是二项展开式中 的各项的值,所以称这样的随机变量服从二项分布,记作,其中为参数,并记 若,则,. 例1 为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响,某公司研发了一种新型防雾霾产品.每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测,只有两种检测都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为,第二种检测不合格的概率为,两种检测是否合格相互独立.试求: 如果产品可以销售,则每台产品可获利40元;如果产品不能销售,则每台产品亏损80元(即获利元).现有该新型防雾霾产品3台,随机变量表示这3台产品的获利,求的分布列及数学期望. 四、超几何分布 在含有件次品的件新产品中,任取件,其中恰有件次品,则事件发生的概率为其中,且,,,称分布列 0 1 …… …… 为超几何分布列. 例1 为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 和 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示为服药者. 从图中四人中随机选出两人