8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1 棱柱 棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和； 体积： (其中是棱柱的高) 2 棱锥 棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和； 棱锥体积：(其中为棱柱的高) 3 棱台 棱台的表面积就是围成各个面的面积的和； 棱台体积 其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 解释 棱台的体积可以视为两个棱锥体积的差，简证如下 如下图，设分别为上底四边形面积，下底面四边形面积，为高. 由相似易得，，， 则，， 所以. 当时，棱台变成棱锥，体积公式就变成棱锥的体积公式. 【题型1】 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【典题1】 刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为，底边宽为，上棱长为，高为，则它的表面积是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.已知正方体的棱长为，棱的中点分别为，首先截去三棱锥，类似的，再截去另外个三棱锥，则余下的几何体的表面积为　 ． 2.如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面面积为　 　． 3.“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是，高为，则该四棱台的表面积为　 　． 【题型2】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【典题1】 过三棱台上底面的一边与侧棱平行的一个截面，把棱台分为两部分，截面与的交点分别为的中点．求棱台被分成两部分的体积的比． 【巩固练习】 1.如图，长方体的体积是，点在棱上，且，则三棱锥的体积是(　　) A． B． C． D． 2.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则侧面积为 　 　． 3.如图，在高为的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为(如图2)，则容器的高为　 　． 4.在直三棱柱中，平面是下底面．上的点，，过三点作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为　 　． 【A组---基础题】 1.棱长均为的正四面体的表面积是(　　) A． B． C． D． 2.“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为(　　) A． B． C． D． 3.正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为(　　) A． B． C． D． 4.分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为，则(　　) A． B． C． D． 5.如图所示，三棱柱容器的棱长为，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为(　　) A． B． C． D． 6.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有　 　个面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是　 　． 7.如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为　　 ． 8.已知正四棱柱为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，则　 ． 9.一块边长为的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置，若其正视图为等腰直角三角形(如图(3))，则该容器的体积为　 ． 10.如图所示的是一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥)，其中，，为线段的中点，是正四棱锥的高． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求正四棱锥的体积． 【B组---提高题】 1.以为顶点的三棱锥其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则以为顶点，以面为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为(　　) A． B． C． D． 2.半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为(　　) A． B． C． D． 【C组---拓展题】 1.如图，在中，．若平面外的点和线段上的点，满足，则四面体的体积的最大值是　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.