8.6.3 平面与平面垂直-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

8.6.3 平面与平面垂直 1 二面角 (1) 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. (2) 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【例】在正方体中，求二面角，二面角 2 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 解释 ① 符合表示： ② 证明 设与的交点为， 过点在内作直线， 则直线所成的角就是二面角的平面角. 由知，. 又因为，和是内的两条相交直线， 所以 ③ 该定理说明由面面垂直可以得到线面垂直； ④ 判断 (1) 如果平面平面，平面平面，，那么 (2) 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 (3) 如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 (4) 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 【题型1】 二面角 【典题1】 如图，在棱长为的正方体中与相交于点．求二面角的正切值． 【巩固练习】 1.在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，则二面角的大小为(　　) A． B． C． D． 2.如图，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为(　　) A． B． C． D． 3.如图，矩形中，的中点，沿着向上翻折，使点．若在平面上的投影落在梯形内部(不含边界)，设二面角的大小为α，直线与平面所成角分别为，则(　　) A． B． C． D． 【题型2】 面面垂直的判定 【典题1】 如图，是矩形所在平面外一点，平面分别是的中点，又二面角． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【巩固练习】 1.对于不重合的直线和平面，要证需具备的条件是(　　) A． B． C． D． 2.垂直于正方形所在平面，连接，则下列垂直关系正确的是(　　) ①面 ②面 ③面 ④面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且．求证: (1)直线平面； (2)平面平面． 4.如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为的菱形，， (1)证明:平面平面； (2)若，求三棱柱的体积． 【题型3】面面垂直的性质 【典题1】 如图，是四边形所在平面外的一点，四边形且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面．若的中点， 求证：(1)平面； (2)． 【巩固练习】 1. 平面平面，直线，则(　　) A. B. C. 与相交 D.以上都有可能 2.如图所示，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是(　　) ①平面平面 ② ③平面平面 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3.在四面体中，平面平面，，，则(　　) A. B. C. D. 4.在正方形中，中点，将平面沿对角线翻折，使得平面平面，则直线所成角为 . 5.如图，平面平面与两平面所成的角分别为．过分别作两平面交线的垂线，垂足为，则 . 【A组---基础题】 1.如图，已知四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是(　　) A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2.正方体中，二面角的平面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 3.如图，在四形边中，．将折起，使平面，构成三棱锥．则在三棱锥中，下列结论正确的是(　　) A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 4.如图所示，三棱锥的底面在平面内，且，平面平面，点是定点，则动点的轨迹是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 5.如图，已知平面平面，且，则等于(　　) A． B． C． D． 6.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是等边三角形，且平面平面为棱上一点，若平面平面，则　　． 7.如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形所在