8.6.2 直线与平面垂直-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

8.6.2 直线与平面垂直 1 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 2 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表述: (线线垂直线面垂直) 解释 (1) 定理中两条直线必须是相交的； 判断 ① 如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ② 如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，那么该直线与此平面垂直 (2) 简证：(由向量的基本定理和线面垂直的定义可证) 设直线对应的向量是，则， 由于直线相交，若平面内任意直线所对的向量， 则，则， 即直线与平面内任意直线垂直，即. (3) 该定理说明线面垂直可转化为线线垂直. 3 性质定理 垂直同一平面的两直线平行 符号表述：. 证明 假设与不平行，且，显然点不在直线上， 与直线可确定一个平面， 在该平面内过点作直线， 则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面， 设，则. 因为，所以. 又因为，所以. 这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线与垂直，显然不可能. 因此. (证明使用了反证法) 4 证明线面垂直的方法 · 定义法(反证) · 判定定理(常用) · · 5 线面所成的角 (1) 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. (2) 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 【例】 在棱长为的正方体中，求直线与平面所成的角，直线与平面所成的角的余弦值. 6 距离 (1) 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离； (2) 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离； (3) 两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离，叫作两个平行平面间的距离. 【题型1】 线面垂直的判定与性质 【典题1】 如图所示，所在平面外一点，且，点为斜边的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证：平面． 【典题2】 如图，四边形为矩形，平面上的点，且平面． (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求四面体的体积． 【巩固练习】 1.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是(　　) A． B． C． D． 2.在长方体中，为棱的中点，则(　　) A． B． C． D． 3.如图，在三棱锥中，平面的中点，则下列判断不正确的是(　　) A．平面 B． C．平面 D．平面 4.如图，在三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，侧棱底面的中点，点在线段上，当　 　时，平面． 5.如图所示，在四棱锥中，平面中点，是上的点，且为中边上的高． (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积； (3)证明：平面． 【题型2】 线面所成的角 【典题1】 如图所示，中，斜边，它在平面上的射影长为 ，求与平面所成角的正弦值． 【巩固练习】 1.如图所示，在正三棱柱中，，则与侧面所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 2.在三棱锥中，平面，且，则直线与平面所成的角为(　　) A． B． C． D． 3.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则　　 A． B．与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 4.如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，且，点的中点，则直线与侧面所成角的正切值的最小值是(　　) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.正方体中，的中点，则直线垂直于(　　) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2.如图：所在的平面，的直径，上的一点，，给出下列结论①，②，③，④平面，其中正确命题的序号是(　　) A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 3.在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦为(　　) A． B． C． D． 4.已知菱形中，相交于点，将折起，使顶点至点，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使为等边三角形；②不可能垂直，成立的是(　　) A．①为假命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①②均为真命题 D．①②均为假命题 5.在长方体中，，且中点，上一动点，则(　　) A． B．三棱锥的体积为 C．存在点使得与平面垂直 D．存在点使得与平面垂直 6.如图，已知平行四边形中，平面，且，则　 　． 7.如图，在正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点