考点01 平面向量的运算与基本定理的应用9种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点01 平面向量的运算与基本定理的应用9种常见考法归类 1、准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：①a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；②向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；④对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；⑥只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的. 2、进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决. 3、线性运算重要结论 (1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). (2)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. (3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1. (4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋. 4、a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：①当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；②当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线. 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0. 换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件. 两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b＝λa. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 5、三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线. 6、①若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C共线⇔λ＋μ＝1；②要灵活使用性质，即要会变换系数(配凑)或拆分(组合)向量，使之与上述形式一致；③O是任一点. 7、平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解. 8、应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量. 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来. 9. 平面向量基本定理的推论 (1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4. (2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (3)平面向量基本定理的推论 ①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点. ②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 考点一 平面向量的有关概念 考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量的坐标运算 考点四 利用向量共线证三点共线 考点五 利用向量共线求参数 考点六 向量共线性质的应用 考点七 用基底表示向量 考点八 利用平面向量基本定理求参数 考点九 平面向量共线定理与基本定理的综合应用 考点一 平面向量的有关概念 1．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列命题中正确的个数是（    ） ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上； ③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心， 则下列判断错误的是    A． B．∥ C． D． 3．【多选】（2023秋·辽宁营口·高一统考期末）下列说法错误的是（    ） A． B．两个非零向量，若，则与共线且反向 C．若，，则 D．若，则存在唯一实数，使得 4．【多选】（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）设