考点03 平面向量的“四心”问题及奔驰定理6种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点03 平面向量的“四心”问题及奔驰定理6种常见考法归类 1、平面几何中的向量方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. (2)常用充要条件 ①G为△ABC重心的一个充要条件：＋＋＝0； ②O为△ABC外心的一个充要条件：＝＝； ③P为△ABC垂心的一个充要条件：·＝·＝·. 2、平面向量与平面几何综合的有关结论 (1)若，为非零向量，则给出·＝0，等价于已知MA⊥MB；给出·＜0，等价于已知∠AMB是钝角或两向量反向共线；给出·＞0，等价于已知∠AMB是锐角或两向量同向共线. (2)给出λ＝，等价于已知MP是∠AMB的角平分线. (3)在▱ABCD中，给出(＋)·(－)＝0，等价于已知▱ABCD是菱形；给出|＋|＝|－|，等价于已知▱ABCD是矩形. 3、三角形的内心 （1）内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 （2）内心的向量表示： ①（或） 其中分别是的三边的长 ②，则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） （3）破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． 4、三角形的外心 （1）外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. （2）常用外心的向量表示： ① ② 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 (3)破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 5、三角形的“重心” (1)重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 (2)常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. ① ②，，， ③若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； (3)破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 6、三角形的“垂心” （1）垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 （2）常见垂心的向量表示 ① 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 ② 7、奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 是的外心 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 是的垂心 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 考点一 三角形的重心判断及应用 （一）三角形重心的判断 （二）重心性质的应用 考点二 三角形的外心判断及应用 （一）三角形外心的判断 （二）外心性质的应用 考点三 三角形的内心判断及应用 （一）三角形内心的判断 （二）内心性质的应用 考点四 三角形的垂心判断及应用 （一）三角形垂心的判断 （二）垂心性质的应用 考点五 三角形的“四心”问题的综合 考点六 奔驰定理的应用 考点一 三角形的重心判断及应用 （一）三角形重心的判断 1．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 2．（2023秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2023秋·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心