压轴题02 数列压轴题（填空、解答题专项）-2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题02 数列压轴题 题型/考向一：填空题综合 题型/考向二：数列通项公式与数列求和 题型/考向三：数列与其他知识综合 一、等差数列、等比数列的基本公式 1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； 2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. 3.等差数列的求和公式： Sn＝＝na1＋d； 4.等比数列的求和公式： Sn＝ 二、等差数列、等比数列的性质 1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2.前n项和的性质(m，n∈N*)： 对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).　 3、 数列求和的常用方法 热点一　分组求和与并项求和 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.　 热点二　裂项相消法求和 裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数 ＝； ＝. (2)分母两项的差与分子存在一定关系 ＝－； ＝. (3)分母含无理式 ＝－.　 热点三　错位相减法求和 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.　 一 填空题综合 一、填空题 1．艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则__________. 【答案】## 【详解】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列， 则通项公式，前项和，则. 故答案为: . 2．对任意，任意，都有恒成立（注：e为自然对数的底数），则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：由均值不等式有 ． ∴，即单调递增，且． 又对任意，任意，恒成立， ∴对任意，恒成立， ∴对任意，恒成立． 令， ∴，， ∴，解得或． ∴实数x的取值范围是 故答案为： 3．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则__________． 【答案】 【详解】的第项为，故，即 因为，，所以，，. 故答案为： 4．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）. 【答案】38 【详解】当时，，，，∵，∴， 当时，，∴，， ∴，∴是以1为首项，公差为1的等差数列，∴， ∵，∴，∴，，即， 又时，，即， 令， ， ， 即，从而. 故答案为：38 5．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式，则数列的前项和为____________． 【答案】 【详解】，数列的前项和为， ， 数列的前项和. 故答案为：. 二 数列通项公式与数列求和 6．已知数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1），得， 因为，即，解得， 由，得， 又， 故，所以，即， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 则，故， 所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上所述，. 7．在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题． 已知数列的前n项和． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设___________，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为①， 所以②， ②①得， 整理得， 由等差数列的定义可知是等差数列． （2）由（1）得的公差， 又因为，所以． 若选①： , 所以 ． 若选②： ， 所以 ． 若选③： ， 则，   两式作差得 ．                   所以． 8．在数列