8.4空间几何之点线面的位置关系讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第1讲 点线面的位置关系 1．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角． (2)范围： 2．求异面直线所成角的2种方法 (1).平移法：①作：通过作平行线得到相交直线. ②证：证明所作角为异面直线所成的角或其补角. ③求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.此处可能涉及正弦定理、余弦定理等相关知识。 (2).向量法： 例题1、如左下图1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)A．30°　　　　　 B．45° C．60° D．90° 变式训练①、如右上图2，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________． ②、如右上图，E、F分别是三棱锥P­ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为_________________． 例题2、(2022·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 变式训练①（2023年汕头期末监测）、已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别是A1C1，BB1的中点，则直线CM与AN所成的角的余弦值为 . 第2讲．直线、平面平行的判定及其性质 (1)判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 线面平行 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 ⇒l∥α 面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒α∥β (2).性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 线面平行 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ⇒a∥b 面面平行 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b (3) .证明线线平行的常用方法： ①三角形的中位线（中点） ②平行四边形的对边（一般情况需要画辅助线） ③线面平行的性质定理 ④面面平行的性质定理 ⑤平行于同一条直线的两条直线相互平行 ⑥垂直于同一个平面的两条直线相互平行 例1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 证明直线、平面平行的三种方法： 一、判定定理：利用中位线、平行四边形证线线平行 例1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_______． 例2、如上图2，知直三棱柱ABC­中，D是AB的中点,求证：直线∥平面 变式训练1、如上图3，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：直线EG∥平面BDD1B1； 例3、如图7­4­3所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．证明：AD1∥平面BDC1； 变式训练2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； 二、面面平行的性质定理：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 例4、如图，多面体中，四边形为矩形，，，，．（1）求证：平面； 变式训练3、如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点. (1)若是的中点，求证：平面； 三、线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 例5、如图，在五面体中，底面为矩形，，，过的平面交棱于，交棱于．证明：平面； 例6、 如图，矩形中，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. 设平面平面，证明 学科网（北京）股份有限公司 $