二项式定理应用的六种题型讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项式定理的应用 二项式定理 ⑴这个公式叫做二项式定理. ⑵展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项. ⑶二项式系数：各项的系数叫做二项式系数. 展开式的通项 展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作. 题型 求某项系数 例. 二项式中展开式的常数项是 例. 在的展开式中，的系数是 例. 若二项式的展开式中的第四项等于,则的值是 题型 多个多项式 例. 的展开式中，的系数是 例. 设则 ； ； 例. 的展开式中的系数为. 例. 求当的展开式中的一次项的系数为. 例. 求式子的常数项为 例. 的展开式中，的系数是 例. 的展开式中的系数是 例. 求的展开式中的系数是 例. 求展开式中的常数项是 例. 已知的展开式中没有常数项，且，则 题型 系数特征 例. 在的展开式中，系数为有理数的项有 项. 例. 求二项式的展开式中的有理项 . 例. 的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项 ，系数最大的项 . 例. 在的展开式中，求二项式系数最大的项 . 例. 在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是 . 题型 求系数和 常用赋值举例： ⑴设， ①令，可得： ②令，可得：，即（假设为偶数），再结合①可得： ⑵设 ①令，则有：，即展开式系数和 ②令，则有：，即常数项 ③令，设为偶数，则有：，所以，即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出和的值 例. 已知，求的值 . 例. 已知，则的值为 . 例. 设，则的值为 . 例. 若，则等于 . 例. 若，且，则等于 . 例. 已知，若，则的值为 . 例. ，则的值是 . 例. 已知，，若，则 . 题型 逆用 例. . 例. . 题型 应用 例. 证明：能被整除 例. 已知，求证：能被整除. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项式定理的应用 二项式定理 ⑴这个公式叫做二项式定理. ⑵展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项. ⑶二项式系数：各项的系数叫做二项式系数. 展开式的通项 展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作. 题型 求某项系数 例. 二项式中展开式的常数项是 答案：常数项为. 例. 在的展开式中，的系数是 答案：. 例. 若二项式的展开式中的第四项等于,则的值是 答案：. 题型 多个多项式 例. 的展开式中，的系数是 答案：的系数为. 例. 设则 ； ； 答案：， . 例. 的展开式中的系数为. 答案：的系数为. 例. 求当的展开式中的一次项的系数为. 分析：解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有的一次项，此时，所以的一次项为，它的系数为. 解法②： 故展开式中含有的项为，故展开式中的系数为. 例. 求式子的常数项为 答案：，设第项为常数项，则，得，所以. 例. 的展开式中，的系数是 分析：已知表达式展开式中每一项由两部分相乘而成，要想凑得，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以为例） 1：出，则出，该项为： 2：出，则出，该项为： 3：出，则出，该项为： 综上所述：合并同类项后的系数是. 例. 的展开式中的系数是 分析：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为个因式如何分配所出项的问题：若要凑成有以下几种可能： ⑴：个，个，个，所得项为： ⑵：个，个，所得项为：，所以的系数是. 例. 求的展开式中的系数是 分析：因为的展开式的通项是， 的展开式的通项是，令，则有且，且，且，因此的展开式中的系数等于. 例. 求展开式中的常数项是 答案： 例. 已知的展开式中没有常数项，且，则 分析：的展开式的通项为，通项分别与前面三项相乘可得，因为展开式中不含常数项， 所以且且，即且且，所以 题型 系数特征 例. 在的展开式中，系数为有理数的项有 项. 答案：项 例. 求二项式的展开式中的有理项 . 分析：，令得或 当时，， 当时，. 例. 的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项 ，系数最大的项 . 分析：二项展开式的通项，由第项与第项的系数相等得，，所以展开式中二项式系数最大得项为，设第项系数最大，则，解之得即或，所以系数最大得项为或. 例. 在的展开式中，求二项式系数最大的项 . 分析：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项. 例. 在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是 . 分析：只有第项的二项式最大，则，即，所以展开式