圆的证明和计算 ——内切圆与内心问题讲义2022-2023学年湖北省 武汉市 硚口区武汉市第十一初级中学人教版九年级上册数学

圆的证明和计算 ——内切圆与内心问题 【教学目标】 复习内切圆及内心的相关知识，能解决以内切圆（内心）为背景的圆的计算与证明问题. 经历探究方法的过程，体会从一般到特殊，再从特殊到一般以及整体、类比、转化的数学思想，积累解决问题的经验与方法. 【教学重点】 内切圆及内心问题中常见辅助线的添加和常用思想方法. 【教学难点】 从复杂图形中识别、分离出数学基本图形（模型）并加以分析处理. 【教学过程】 1.课前小练，复习回顾 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. （1）如图1，若∠A＝50°，则∠BOC＝____________． （2）如图2，若∠A＝50°，则∠DEF＝____________. 图1 图2 图3 图4 （3）如图3，若AC＝5，BC＝6，AB＝7，则AD＝________. （4）如图4，若△ABC的周长为10，内切圆半径为1，则△ABC的面积＝________. 2.探究问题，获取方法 例1 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. （1）如图5，过点O作MN∥BC，与AB,AC分别交于点M，N.求证：BM＋CN＝MN ； 图5 （2）如图6，若∠C＝90°，BC＝4，CA＝3，求△ABC的内切圆半径. 图6 （3）如图7，若AB＝AC＝10，BC＝12，求⊙O的半径. 图7 （4）如图8，若AB＝7，AC＝8，BC＝5，求⊙O的半径. 图8 例2如图，点E是△ABC的内心，∠BAC＝90°，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D. （1）写出①线段DB与DE的数量关系： ；②BC与DE的数量关系： ； （2）过E作EM⊥BC，M为垂足，若BC＝10，AD＝，求EM的长. 图9 3.讨论交流，总结归纳 （1）我们今天研究的图形有什么特征？ （2） 我们解决这一类问题的方法是什么？ 4.课后延伸，巩固提高 课后练习： 1. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠ACB＝90°， （1） 如图1，若∠BOC＝105°，⊙O的半径为2.则OB＝ ，BC＝ . （2） 如图2，若AC=3，BC=4，OA和OB分别与⊙O相交于点E和点F，则∠EOF= ，OE＝ ，= ，阴影部分图形的面积为 . 图1 图2 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙I为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，点O为△ABC的外心，BC＝6，AC＝8. （1）求⊙I的半径及AD，BE的长； （2）连接OI，求OI的长. 3.如图，△ABC的内切圆与BC，AC，AB边分别切于点D，E，F，且AB＝c，BC＝a，AC＝b. （1）AE的长为 （用含a，b，c的式子表示）； （2）若BD＝3，∠AOC＝120°，求⊙O的半径. 4.如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，AI交⊙O于点D，连接DB，DC. （1）如图1，当∠BAC＝120°时，求证：△BCD为等边三角形； （2）如图2，当∠BAC＝90°时，若AB＝6，AC＝8，求DI的长. 图1 图2 5.如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，求此圆的半径. ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $