专题11.5 反比例函数的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题11.5 反比例函数的图象与性质（知识讲解） 【学习目标】 1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】 要点一、反比例函数的图象和性质 　　1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所 以反比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 要点二：反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数的图象 【题型一】判断（画）反比例函数图象 1、已知一次函数（，为常数，）的图像如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（，为常数，）的图像判定，确定图像分布，判断即可． 解：根据一次函数（，为常数，）的图像判定， ∴的图像分布在二四象限，反比例函数的图像分布在二四象限， 故选D． 【点拨】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键． 【变式】反比例函数． (1) 画出反比例函数的图象； (2) 观察图象，当时，写出的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)或． 【分析】（1）列表、描点、连线画出函数图象即可； （2）根据图象即可求解． （1）解：反比例函数． 列表： x 1 2 4 y 4 2 1 描点、连线，反比例函数的图象如图， ； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【题型二】已知反比例函数图象，求其解析式 2、如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1) 求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2) 若，求自变量t的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可． （2）先求出时对应的的值，再根据反比例函数图像特征写出时，自变量x的相应的取值范围． （1）解：设反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴该曲线所表示的函数的解析式； （2）把代入得，， 由图像得，当时，． 【点拨】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围． 【变式】把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．    B．    C．    D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论． 解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B； （2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A； （3）的图象在二，四象限，对应着图象C； （4）的图象