18.2.3 正方形的判定 课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册

正方形的判定 学习 目标 01 掌握正方形的判定方法（重点） 02 掌握正方形和菱形、平行四边形和矩形的联系和区别（重点） 03 利用正方形的判定解决应用问题（难点） 北 京 人 国 期 中 早 的 人 类 代 表 复习 1. 什么是正方形？正方形有哪些性质？ 2. 正方形和矩形、菱形和平行四边形的区别 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 知识点1:正方形的判定 问：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，思考一下矩形满足什么条件才能成为正方形？ 正方形 猜想： 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 证明： 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 问：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形，思考一下菱形满足什么条件成为正方形 正方形 菱形 猜想： 正方形 一个角是直角 对角线相等 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 证明： A B C D O 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 结论一 正方形的判定方法： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC C A B C D O 北 京 人 国 期 中 早 的 人 类 代 表 知识点2:正方形的判定相关应用题 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形EDFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四边形EDFC是正方形. 例1:如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 例2:如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C D O E H G F ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. 北 京 国 期 中 早 的 人 类 代 表 人 例3: 如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)， 问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF , ∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE. 北 京 国 期 中 早 的