2023年中考数学复习：专题十八 抛物线与几何综合题练习

专题十八　抛物线与几何综合题 类型一　线段、面积问题 1.已知抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线L的顶点． (1)求抛物线L的表达式； (2)如图①，若点E是抛物线对称轴l上一点，且CE＝BE，求点E的坐标； (3)如图②，连接BC，若点P是第一象限内抛物线L上一点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求线段PQ的最大值及四边形PBOC面积的最大值； (4)如图③，在抛物线L上是否存在一点M，使得S△ABM＝12？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 2.如图，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线L的函数表达式； (2)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q.若＝，求点P的坐标． 　第1题图 3.已知抛物线:y=mx2-8x+3m与x轴相交于A和B（-1,0）两点，与y轴相交于点C.抛物线L＇与L关于坐标原点对称，点A，B在L＇上的对应点分别为A＇，B＇. （1）求抛物线L的函数表达式． （2）在抛物线L＇上是否存在点P，使得ΔPA＇A的面积等于ΔCB＇B的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4. 已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C. (1)求A，B，C三点的坐标，并求△ABC的面积； (2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′，B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 5.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度. （1）求抛物线的表达式； （2）爸爸站在水柱下方，且距喷水头P的水平距离为3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 类型二　特殊三角形、四边形问题 1. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点． (1)求b，c的值； (2)点C为抛物线上一点，点D为x轴上一点，当△BCD为等边三角形时，求△BCD的面积． 2. 在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧． (1)求抛物线C1，C2的函数表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 　第2题图 3． 已知抛物线L：y＝x2－6x＋5与x轴交于A，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C， 对称轴为直线l. (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图①，连接AC，在x轴上是否存在一点D，使△ACD为等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，在对称轴上是否存在一点E，使得以A，C，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图③，若点M为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，B，M，F为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 图① 图② 图③ 4.如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A、B