吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期阶段性验收考试数学试题

东北师大附中2022～2023学年下学期阶段性验收考试 高二年级数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则＝ A 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知数列满足，对于任意正整数都有，则数列的前项和是（ ） A. B. C. D. 4. 用、、、、五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　） A. 为递减数列 B. C. 有最大值 D. 6. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 7. 已知为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ） A. 35 B. C. D. 8. 如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面．若这个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数为，则（ ） A. 4 B. 15 C. 31 D. 81 二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的焦距为4，则（ ） A. 椭圆C的焦点在x轴上 B. 椭圆C的长轴长是短轴长的倍 C. 椭圆C的离心率为 D. 椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为 10. 已知数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 公比 C. 为递减数列 D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，令，且数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知是各项均不为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列等差数列，则 B. 若数列是等差数列，则 C. 若数列是等差数列，则 D. 若数列是等差数列，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 在的展开式中，项的系数是______． 14. 已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，且，则______． 15. 已知等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值为______． 16. 若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的类周期性等比数列．已知类周期性等比数列的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前25项的和为___________． 四、解答题：共计56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 数列中，，． （1）写出数列的前项； （2）请直接写出的一个通项公式． 18. 已知数列为公差不为的等差数列，，且、、成等差数列． （1）求的值； （2）若数列满足，求数列的前项和． 19. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1正弦值. 20. 总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，年投入万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． （1）设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、表达式； （2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． 参考数据：，， 21. 已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，，都有． （1）求数列、的通项公式； （2）设，，恒成立，求实数的取值范围． 22. 已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，求： （1）椭圆标准方程； （2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积. 东北师大附中2022～2023学年下学期阶段性验收考试 高二年级数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题