2023年中考数学专题训练：二次函数压轴题（相似三角形问题）

2023年中考数学专题训练：二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图1，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点G，交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式． (2)过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标． (3)如图2，连接，请问的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)　 ；　 ； (2)连结，与相似吗？说明理由； (3)若点P为射线上一点，当与相似时，直接写出点P的坐标． 3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求点D的坐标以及的面积的最大值． (3)点P是抛物线上一个动点，过P作轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 5．如图①，抛物线与x轴交与、两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点M从B点以每秒个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒个单位沿方向向点B运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与相似? 6．如图，直线与x轴，y轴分别交于点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式及点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求点B的坐标； (2)如图1，点P在第三象限的抛物线上，横坐标为m，BP交y轴于点D，时，求a的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点Q在线段上，连接，当，，求的正切值． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值； (3)如图2，过点作直线，和轴交点为，在点沿着抛物线从点到点运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点的坐标． 9．如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上存在一点P，使的值最小，求此最小值； (3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 11．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，与y轴相交于点C，连接，已知点． (1)求两点坐标和抛物线的解析式； (2)设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与重合），过点P作，垂足为点． ①点P在运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值以及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由： ②当以为顶点