2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径，，求的长． 2．如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，的角平分线交半圆O于点D，过点D作的垂线，垂足为E，连接交于点F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，半圆O的半径为4，求的长． 3．已知：如图，等腰的一腰为的直径，底边与交于点，过作于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 4．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径的长． 5．如图，四边形内接于，是的直径，，过点作的平行线交延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)当t，时，求的长． 6．如图，半径为3的与相交于点、、，连结、，平分，． (1)求证：与相切； (2)若，求弧的长（结果保留）． 7．如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 8．如图，为的直径，交于点E，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 9．如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接，并延长交于点．连接，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 10．如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 12．如图，已知圆O是的外接圆，是圆O的直径，C是圆上的一点，D是延长线上的一点，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：是圆O的切线． (2)若，，求和的长． 13．如图，直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的长． 15．如图，是的直径，点C在上，，，连接，，且与相交于点E． (1)求证：与相切； (2)若，求的值． 16．如图，在中，，平分交于点E，点D在上，，是的外接圆，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为10，，求． 17．如图，PB为的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA、AO，并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D． (1)求证：PA是的切线； (2)若，且，求PA的长和的值． 18．如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)与相切，见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，由，可得结论； （2）根据题意得到，即可得到，由得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）解：与相切， 理由：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、解直角三角形以及三角形相似的判定和性质．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线与等腰三角形可得，即可得切线． （2）连接，可得，列出比例式可求，在根据勾股定理即可求得． 【解析】（1）解：如图， 连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的切线． （2）解：如图， 连接， 是半圆O的直径，， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在中， ． 【点评】本题考查了切线的判定，相关知识点有：相似三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、平行线的判定、勾股定理等，辅助线的补充是解题关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理得到，进而得出，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】（1）连接， ， ， 为半径 为的切线 （2）连结 为的直径， ，即， 根据勾股定理，可得 【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 4．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，