三角形的“四心”问题 专项练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

三角形的“四心”问题专项练习 一、单选题 1．已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 3．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 5．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 6．在中，是的外心 ，若，则（    ） A． B．3 C．6 D．6 7．已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．0 D．2 8．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．过点的直线交于，若，，则 D．与共线 二、多选题 9．如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（　　） A． B． C． D． 10．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 11．已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 12．下列结论正确的是（    ） A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 三、填空题 13．已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为_________. 14．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为 __． 15．在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为________. 16．已知三角形ABC中，是的重心，P是内部（不含边界）的动点，若（），则的取值范围________. 四、解答题 17．已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若为的垂心，，求面积的最大值. 18．已知点G在内部，且， (1)求证：G为的重心； (2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值. 19．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角． (1)求； (2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题． 若，，为的___________，求的面积． 20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的最小值； (2)若M为的重心，，求． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形的“四心”问题专项练习解析版 一、单选题 1．已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 3．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 5．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 6．在中，是的外心 ，若，则（    ） A． B．3 C．6 D．6 7．已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．0 D．2 8．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．过点的直线交于，若，，则 D．与共线 二、多选题 9．如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC