7.3.2离散型随机变量的方差 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版2019必修第三册 7.3.2离散型随机变量的方差 1.离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2.均值的性质： 3.随机变量X服从两点分布，则有 知识回顾 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图分别是和的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考1：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 一、离散型随机变量的方差 为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 解： 由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为： 因为(等价地，)，所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系? (1)离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化; (2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的. 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 证明： 例1 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 解： 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高? ∵E(X)>E(Y)，∴ 投资股票A的期望收益较大. ∵D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高. 二、方差的性质 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同? 均值的性质： 方差的性质： 题型一：求离散型随机变量的方差 例1.(1)随机变量的分布列如图所示，若成等差数列，，则. 解：(1)由题意可得解得 所以. 1 题型二：离散型随机变量的方差的性质的应用 例2.已知随机变量的分布列为： (1)求的方差及标准差； (2)设，求. 解：(1) . ∴ (2)∵，∴. 20 解： 变.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X＋7). 例3　有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点工程，为了对重点工程负责，政府到两建材厂抽样检查，从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下： ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 η 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0