6.2.3组合 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.3组合 人教A版2019必修第三册 复习回顾 2. 排列数公式 3. 全排列 1. 排列数的定义 问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲乙, 甲丙, 乙丙 问题引入 从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组 有顺序 无顺序 排列 组合 甲乙,乙甲,甲丙,丙甲,乙丙,丙乙 探究新知 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 注意: (1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性:元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 组合定义: 共同点: 都是“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关,排列的有序性 而组合则与元素的顺序无关,组合的无序性 探究新知 你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗? ? 探究 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙,乙甲 甲丙,丙甲 乙丙,丙乙 排列 问题一和问题二中“排列”和“组合”的对应关系: 思考:如何区分排列问题还是组合问题? 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响,则是排列问题,即排列问题与选取的顺序有关. 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取的顺序无关. 练习:校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题: (1)从中选3辆,有多少种不同的方法? (2)从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 没有顺序,是组合问题 有顺序,是排列问题 例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题. (1) 从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个? (2) 从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个? (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛? (4) 10支球队进行单循环赛,冠、亚军获得情况共有多少种? 解:(1) 是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到不同的三位数. (2) 是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变. 例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题. (1) 从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个? (2) 从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个? (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛? (4) 10支球队进行单循环赛,冠、亚军获得情况共有多少种? 解:(3)是组合问题,因为每两队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别. (4)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,是有顺序区别的. 1.判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合 排列 (4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 共有多少种分法? 组合 组合 组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果. 小试牛刀 (3)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上有多少种不同的火车票价? (5)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? 组合 (6)从4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法? (7)从4个风景点中选出2个, 并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 组合 排列 校门口停放着9辆共享单车,其中黄色、红色和绿色的各有3辆,则 思考:下列问题是排列问题还是组合问题? (1)从中选择3辆,有多少种不同的方法? (2)从中选择3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 组合问题 排列问题 不同的选法有84种. 例5 平面内有A,B,C,D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析: (1)确定一条有向线段,不仅要确定两个端点,还要考虑它们的顺序,是排列问题; (2)确定一条线段,只需确定两个端点,而不需考虑它们的顺序,是组合问题. 解: 结论:取出2个元素的组合的个数是排列数的一半 利用排列和组合之间的关系,以“元素相同”为标准