6.2.2排列数 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.2 排列数 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义： 2.排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序. 复习引入 排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ， 可记作： 问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ， 可记作： 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 思考　排列与排列数相同吗？ 如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数. 答案　“一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数. 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 追问1: 如何求排列数 ？ 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 (n-2)种 追问2: 如何求排列数 ？ 可以按依次填2个空位得到： 可以按依次填3个空位得到： 探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 那么排列数 就可以按依次填m个空位得到： ··· ? 排列数公式的特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 全排列数： 1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 全排列数为: 排列数公式： 2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 解： 例1 计算： 典例分析 思考 由例1可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 证明： 排列数公式 的阶乘形式 排列数公式 的连乘形式 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 练习1 15 6 练习2 12 排列数公式的两种形式 1.排列数公式的连乘形式： 2.排列数公式的阶乘形式： 归纳公式 排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解1： 由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为 符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法） 由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为 分两步完成：(特殊位置法) (1) 从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 种方法. (2) 从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位, 个位，有 种方法. 解2： (1) 每一位数字都不是0的三位数有 个； (2) 个位数字是0的三位数有 个； (3) 十位数字是0的三位数有 个. 解3：（间接法） 例析 l 例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数. 从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排