6.2.4 向量的数量积学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 学案 学习目标 1.通过物理中功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 知识汇总 1.向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量a与b的夹角.显然，当时，a与b同向；当时，a与b反向.如果a与b的夹角是，那么说a与b垂直，记作. 2.向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 3.投影向量：如图，设a，b是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 4.向量数量积的性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）. （2）. （3）当a与b同向时，；当a与b反向时，. 特别地，或. （4）由还可以得到. （5） 5.向量数量积的运算律：对于向量a，b，c和实数，有 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 习题检测 1.已知，，向量，的夹角为，则( ) A. B.1 C.2 D. 2.若，，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 3.已知，均为单位向量，，则与的夹角为( ) A.30° B.45° C.135° D.150° 4.在中，，，，若，则( ) A.-18 B. C.18 D. 5.已知非零向量，满足，，的夹角的余弦值为，且，则实数k的值为( ) A.18 B.24 C.32 D.36 6.（多选）已知正三角形ABC的边长为2，设，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 7.已知，是与方向相同的单位向量.若在上的投影向量为，则_________. 8.已知向量，的夹角为60°，，，则__________. 9.已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，，求. 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知，，. （1）求的模； （2）若，，求的值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：.故选C. 2.答案：D 解析：在的投影向量是.故选D. 3.答案：A 解析：，， 设与的夹角为，则，，.故选A. 4.答案：C 解析：如图，在中，，，，. 若，则 .故选C. 5.答案：A 解析：由，可设，则， 因为，所以.故选A. 6.答案：CD 解析：分析知，，与b的夹角是120°，故B错误； ，，故A错误； ，故C正确； ，故D正确.故选CD. 7.答案：4 解析：设与的夹角为，，. 又在上的投影向量为，，. 8.答案： 解析： ，所以. 9.解析：设与的夹角为， 由题意知， 即，所以， 由定义知. 10.解析：（1）. （2）因为，， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $