6.2.4 向量的数量积教案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 教学设计 教学目标 1.通过物理中功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 教学重难点 教学重点：平面向量的数量积的概念及其应用. 教学难点：平面向量的数量积的应用. 教学过程 新知积累 1.向量的夹角：已知两个非零向量a，b如图，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量a与b的夹角. 显然，当时，a与b同向；当时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，那么说a与b垂直，记作. 2.向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 3.投影向量：如图，设a，b是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 4.向量数量积的性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）. （2）. （3）当a与b同向时，；当a与b反向时，.特别地，或. （4）由还可以得到. （5） 5.向量数量积的运算律：对于向量a，b，c和实数，有 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 例题巩固 例1 已知，，a与b的夹角，求. 解：. 例2 设，，，求a与b的夹角. 解：由得. 因为，所以. 例3 对任意的，恒有，.对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？ （1）； （2）. 解：（1）. （2）. 因此，上述结论是成立的. 例4 已知，，a与b的夹角为，求. 解： . 例5 已知，，且a与b不共线. 当k为何值时，向量与互相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是， 即， 因为，， 所以，解得， 也就是说，当时，与互相垂直. 课堂练习 1.若，，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：在的投影向量是.故选D. 2.已知非零向量，满足，，的夹角的余弦值为，且，则实数k的值为( ) A.18 B.24 C.32 D.36 答案：A 解析：由，可设，则， 因为，所以.故选A. 3.（多选）已知正三角形ABC的边长为2，设，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 答案：CD 解析：分析知，，与b的夹角是120°，故B错误； ，，故A错误； ，故C正确； ，故D正确.故选CD. 小结作业 小结：本节课学习了平面向量的数量积运算. 作业：完成本节课课后习题. 板书设计 6.2.4 向量的数量积 1.向量的夹角 2.向量的数量积 3.投影向量 4.向量数量积的性质 5.向量数量积的运算律 学科网（北京）股份有限公司 $