湖南省浏阳市第一中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试题

浏阳一中 2023 春季高二数学入学考试 时间:120 分钟 满分:150 分 命卷人: 审核人: 一、选择题(每小题 5 分,共 8小题 40 分) 1、若等差数列的首项是 ,且从第 项开始大于 ,则公差 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2、已知 两点到直线 的距离相等,则 ( ) A.2 B. C.2 或 D.2 或 3、如图所示,空间四边形 中, ,点 在 上,且 为 的中点, ,则 的值分别为( ) A. B. C. D. 4、已知数列 满足 ,则数列 的前 2023 项之和为( ) A. B. C. D. 5、已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ,点 A 是两曲线的一个交 点,且 轴,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6、已知椭圆 的左､右顶点分别为 ,点 在椭圆 上,直线 的斜率分别为 ,则 ( ) A. B. C. D. 7、已知圆 与直线 相切,则圆 关于直线 对称的圆的方程 为( ) A. B. C. D. 8、如图,在正方体 中, 是底面正方形 的中心,点 为 的中点,点 在 上,则直线 与 所成的角为( ) A. B. C. D. 二、多选题(每小题 5 分,共 4小题 20 分) 9、已知圆 ,直线 ,则( ) A.直线 恒过定点 B.当 时,圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1 C.直线 与圆 有一个交点 D.若圆 与圆 恰有三条公切线,则 10、已知等差数列 则( ) A.该数列的通项公式为 B. 是该数列的第 13 项 C.该数列的前 5 项和最大 D.设该数列为 ,则 11、设曲线 上任意一点到直线 的距离比它到点 的距离大 1,下列结论正确的是( ) A.曲线 的方程为 B.若曲线 上的一点 到点 的距离为 4,则点 的纵坐标是 C.已知曲线 上的两点 , 到点 的距离之和为 10,则线段 的中点横坐标是 5 D.已知 , 是曲线 上的动点,则 的最小值为 5 12、如图所示,在棱长为 2 的正方体 中,点 E,F 分别是棱 BC, 的中点,则( ) A. B. 与平面 AEF 所成角的正弦值为 C.二面角 的余弦值为 D.平面 AEF 截正方体所得的截面周长为 三、填空题(每小题 5 分,共 4小题 20 分) 13、在等比数列 中, ,则 的公比 __________. 14、若单位圆 与圆 相切,则实数 __________. 15、在棱长为 2 的正方体 中,P 是棱 上一动点,点 O 是面 AC 的中心,则 的值为__________. 16、过抛物线 的焦点 作直线 , 与抛物线 C 分别交于点 A,B 和 M,N,若直线 与 互相垂直,则 的最小值为__________. 四、解答题(第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 6 小题 70 分) 17、直线 与直线 相交于点 ,直线 过点 且与直线 平行. (1)求直线 的方程; (2)求圆心在直线 上且过点 的圆的方程. 18、在等比数列 中, 的前 项和为 . (1)求 和 ; (2) ,求 . 19、如图,正三棱柱 中,D 是 的中点, . (1)证明: 平面 ; (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 20、已知椭圆 的标准方程为 . (1)求椭圆 被直线 截得的弦长; (2)若直线 与椭圆交于 , 两点,当 (O 为坐标原点)时,求 的值. 21、已知等差数列 单调递增,其前 n 项和为 , ,其中 , , 成等比数列. (1)求数列 的通项公式; (2)设 , 的前 n 项和记为 ,求证: . 22、已知直线 与双曲线 相交于 , 两点,且 , 两点的横坐标之 积为 . (1)求双曲线 C 的离心率 ; (2)设与直线 平行的直线 与双曲线 交于 , 两点,若 的面积为 (O 为坐标原点), 求直线 的方程. 2023 春季高二数学入学考试答案解析 第 1 题答案 D 第 1 题解析 等差数列的首项是 , 则等差数列的通项公式为 , 要使从第 10 项开始为正, 则由 ,解得: .故选: . 第 2 题答案 D 第 2 题解析 因为 两点到直线 的距离相等, 所以有 ,或 ,故选:D 第 3 题答案 C 第 3 题解析 , 所以 ,故选: 第 4 题答案 A 第 4 题解析 数列 中, ,则 , 数列 的前 n 项和 , 所以数列 的前 2023 项之和 .故选:A 第 5 题答案 D 第 5 题解析 由抛物线 可得焦点 ,则双曲线 的右焦点为 ,即 , 若 轴,可设 ,则 , 由题意可得: ,解得 , ∴双曲线的离心率为 .故选:D. 第 6 题答案 A 第 6 题解析 由题意知