4.6 利用相似三角形测高 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 4.6 利用相似三角形测高 1.综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题；（重点） 2.在实际问题中抽象出数学模型。（难点） 学习目标 旗杆 春笋 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 活动探究 一 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，借助太阳光线，来测量金字塔的高度. 5 数据分析 问：通过上组数据分析、计算，你发现了什么？ 答：原人高/物高之比=两影长之比 前提条件：同一时刻 原人/物长 影长 小明 1.5m 0.5m 小明的父亲 1.8m 0.6m 竹竿 3m 1m a b 1 2 A C B E D F 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“同一时刻，物高之比=两影长之比”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 归纳小结 二 1、利用阳光下的影子 例1：某学习小组要测量旗杆的高度，他们选一名身高为1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，测得该同学的影长为1.2m，同一时刻测得旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是多少m？ 牛刀小试 三 解：由题意得，AC=1.6m，BC=1.2m，CD=9m，AB∥CE ∵AB∥CE ∴     =   ∵AC⊥BD，ED⊥BD ∴   = =90° ∴  （有两组角对应相等的两个三角形相似） ∴ ,即           ∴ED=     答：旗杆高度是12m。 练习1. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6m的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2m，AB=10m，则旗杆的高度是 m． 2、利用标杆 某学习小组要测量旗杆的高度，一名学生站在B处恰好能从高为4m的标杆CD顶端看到旗杆顶端点E，其他小组成员测出BD为2m，标杆与旗杆的距离DF为10m，该学生眼睛距地面的高度AB为1.6m，那么旗杆的高度是多少m？ 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 解：过点A作AH∥BD交CD于H，交EF于G，因为人、标杆、旗杆都垂直于地面， ∴AB∥CD∥EF ∠B=∠F=∠CDB=∠AHD=90°, ∴∠EGA=∠CHA,四边形ABFG和四边形HDFG为矩形， ∵∠EAG=∠CAH, ∴△AEG∽△ACH , ∴ . ∵CD=4m,BD=2m , DF=10m ,AB=1.6m. ∴ , ∴EG=14.4（m）， ∴EF=14.4+1.6=16（m）. 答：旗杆的高度为16m. 练习2、如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. A E C D F B N A E C D F B N 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=∠BAM=∠FMN=90°, ∴矩形ABMF和矩形ABDN ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴ . ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , ∴ , ∴CN=3.6（m）， ∴CD=3.6+1.6=5.2（m）. 答：树的高度为5.2m. M A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 3、利用镜子的反射 某同学要测量旗杆的高度，在地面上E处放一面平面镜，与旗杆的距离EA=15m，当她与镜子的距离CE=1.5m时，她刚好能从镜子中看到旗杆的顶端B，已知她眼睛距地面的高度CD=1.6m，那么旗杆的高度是多少m？ 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 解：过E作FE垂直CA于E点 ∵入射角=反射角 ∴∠FED=∠FEB ∴90°-∠FED=90°-∠FEB 即∠DEC=∠BEA 又∵∠DCE=∠BAE=90° ∴△DCE∽△BAE ∵EA=15m，CE=1.5m，CD=1.6m ∴,即 ∴AB=16m 答：旗杆的高度