6.2.1向量的加法运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教版必修二 6.2.1向量的加法运算 教学设计 一、单元教学内容和内容解析 本单元的教学内容是平面向量的加法运算、减法运算和数乘运算，平面向量的数量积，平面向量投影和投影向量.具体要研究的是每一种运算的运算规则、几何意义及运算律，会利用向量运算判断两个向量的平行与垂直、求两个向量的夹角. 向量既是代数研究对象又是几何研究对象，所以向量的运算从代数、几何两个角度进行研究，其研究路径是“背景——定义——法则——性质——应用“每一种向量的运算都有明确的物理背景. 高中阶段学习的向量运算分为线性运算和非线性运算，线性运算是封闭的，结果是向量；非线性运算是不封闭的，向量的数量积运算结果是数量.线性运算中向量的加法运算是基础，向量的减法运算是加法运算的逆运算，向量的数乘运算实质是研究共线向量的加法运算；向量的数量积运算结果是实数，刻画了向量的夹角和长度，是判断两个向量位置关系的重要工具，在解决平面几何问题中具有重要作用. 首先，平面向量运算的研究内容、研究过程和研究方法完全类比数的运算研究，用到了类比的方法；其次，向量集数形于一身，向量的运算都是从代数和几何两个角度进行研究，蕴含着数形结合的思想方法；第三，根据学生的认知基础和特点，向量的运算都是从特例入手，然后推广到一般情况，遵循了从特殊到一般的思想方法.本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体。 在学习本章知识之前，学生已经学习了关于数、式、集合、函数等对象的运算，本单元是将运算对象进一步扩展到向量，建立向量运算体系，向量的运算是用向量方法解决几何问题、物理问题的基础；在选择性必修课程中，空间向量的运算体系是完全类比平面向量的运算体系建立的，因此，平面向量的运算是向量的核心内容. 向量是学生学习的一种不同于实数的运算对象，所以向量运算的学习可以拓展学生对运算对象的理解，形成对运算的新认识；通过探究向量运算的法则、性质及其几何意义，可以培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；向量运算中的物理背景及蕴含的数形结合思想，能够帮助学生树立联系的观点，促进对数学整体性的理解，因此，本单元的学习对提升学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等素养具有重要的作用. 二、单元教学目标和目标解析以及重难点 1.单元教学目标 (1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，并理解其几何意义.(2)借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.(5)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(6)会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： (1)能借助物理中位移、力的合成和向量的几何表示，作图表示向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能说明两个法则的一致性；能借助向量加法的几何意义，通过类比数的加法运算律，提出向量加法的运算律，并作图证明；能类比数的减法和向量的加法，作图并说出向量减法的运算规则及几何意义；能作图表示两个向量的和或差. (2)能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，通过作图分析3a与-3a这样的向量，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件. (3)能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题. (4)能作图说明向量a向向量b的投影变换，并结合图形直观解释向量a在向量b方向上的投影向量，得出向量a在向量b方向上的投影向量的表达式. (5)能通过向量运算的研究过程，体会研究向量运算的路径，即“背景——概念——运算法则——运算性质—应用”，提升逻辑推理、直观想象和数学运算等素养。 3.教学重点及难点 重点：向量的运算、运算性质及其几何意义，向量投影的概念以及投影向量的意义，利用向量运算判断两个向量的位置关系. 难点：向量运算定义的建构，运算性质的发现与证明，投影向量表达式的推导. 三.单元教学问题诊断分析 1.问题诊断 从向量运算研究的路径看，学生有了数的运算的研究经验，对数的运算路径有一定的认识，但理解不够深入，从物理背景引出数学内容的经验更是相对欠缺，导致从具体的物理实例引出向量运算，学生会存在一定困难，所以教师要加强一