专题06 离散型随机变量及其分布列、数字特征（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

06 离散型随机变量及其分布列、数字特征 知识点1 随机变量 (1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．随机变量的取值X(ω)随着随机试验结果ω的变化而变化． (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称之为离散型随机变量． (2)表示：随机变量通常用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，例如x，y，z． 知识点2 离散型随机变量的分布列的定义 (1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P＝pi，i＝1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示方法：①表格；②概率分布图． 知识点3 离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点4 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (3)均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． (4)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值E(X)的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 知识点5 均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中X是随机变量，a，b是常数，随机变量X的均值是E(X)，方差是D(X)． 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝D＝a2D(X)．(a，b为常数)． 知识点6 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点7 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 考点1 离散型随机变量分布列的性质 【例1】设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求a的值； (2)求P； (3)求P． 【总结】离散型随机变量分布列性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 【变式1-1】设随机变量X的分布列为P＝，k＝1，2，3，C为常数，则P＝__________． 【变式1-2】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0．2 0．1 0．1 0．3 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列． 【变式1-3】设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 则p为(　　) A. B. C. D. 【变式1-4】设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－q q－q2 则q等于(　　) A．1 B.或－ C．1＋ D. 【变式1-5】(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则(　　) A．a＝ B．P＝ C．P＝ D．P(ξ＝1)＝ 【变式1-6】设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X 0 1 P 9a2－a 3－8a 则常数a的值为(　　) A. B. C.或 D．－或－ 【变式1-7】离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　) A. B. C. D. 【变式1-8】若随机变量X的分布列如下表，则mn的最大值是(　　) X 0 2 4 P m 0.5 n A. B. C. D. 【变式1-9】随机变量